數學新課程學習中提出數學問題的途徑

徐玲芳

今年我市高考狀元在接受記者采訪時談到：在數學學習中非常喜歡提出各種各樣的數學問題來探究.提出數學問題的能力是學生創新意識和實踐能力的重要體現，高中數學新課程注重 數學學習是一種再發現、再創造、再實踐的學習過程.我們仔細分析我們身邊的案例，不難發現“提出問題”可以調動學生已知的數學知識經驗，促進學生積極思維，深化理解數學知識，引導學生展開豐富的聯想，促使學生牢固掌握“數學雙基”，同時創新能力和實踐能力也能得到一定的發展.本文結合多年的教學以及學生提出問題的情況，談談提出數學問題的途徑，以此指導學生“提出數學問題”的技巧，明確學生“問”的方向，創設“問”的氛圍.

一、逆向思維產生問題

逆向思維就是有意識地去做與正向方向完全不同的探索，在逆向思維中追求數學的對稱與和 諧，不僅體現數學美，而且促進數學雙基的鞏固，培養學生的數學探索能力.如原命題成立，問逆命題是否成立?即充分性和必要性的問題，同時進一步思考新的問題如果不成立，則應增加什么條件.在新課程必修2的立體幾何章節中有10個定理，其實這10個定理中的5個是由另外的5個可以按這樣的思維方式產生的.

案例1 等差數列{an}，前n項和為Sn，則Sn=n(a1+an)2,(n∈N*).

這是學生非常熟悉的等差數列前n項和公式.如果我們變換條件和結論，得到新的問題：“若數列{an}前n項和為Sn,且Sn=n(a1+an)2(n∈N*)，則數列{an}是等差數列嗎?”

這種策略學生最容易掌握，且能激發學生的探索熱情，當學生采用常規的方法解答時

∵Sn=n(a1+an)2,∴Sn-1=

(n-1)(a1+an-1)2，兩式相減得(n-2)an=(n-1)an-1-a1(其中n≥2)，從遞推式中學生寄希望探索出an-an-1是常數，當然是學生良好的心愿，但此次探索出現暗礁，在學生的努力下轉而寄希望2an=an+1+an-1，從而達到成功的彼岸.本次探索等差數列定義之深刻可謂是經典，值得回味.通過這樣的一次自主探究過程，學生不但掌握了“提出問題”的策略，還進一步鞏固了如何證明等差數列這一基本技能和等差數列基本概念，同時這些思維方式或數學技巧可以進一步推廣到等比數列.

逆向思維方式同樣可以用在數學解題中，比如在證明時順推較難，逆推能否成立?直接不能，能否間接?等等.恰當的運用逆向思維可以得出很多絕妙的數學問題，可以出現“無心插柳柳成蔭”，如果運用在解題過程中，可能會出現“柳暗花明又一村”.

二、挖掘教材中的例習題引申問題

引申教材中的例習題就是改變原來問題的非本質特征的表現形式，以突出其本質特征.這種策略方式有(1)把特殊數學問題一般化或一般數學問題特殊化；(2)將教材中的結論型問題改為開放型、探索型問題；(3)讓學生變換、舍去、增加問題中的條件，提出相應的問題.教材中的例習題，由于其解題思路較為明朗，常不具備培養探索之功能，但只要教師或學生注意，運用恰當的思維策略，便會發現其潛在的探索功能，從而促使學生的數學雙基鞏固.

案例2 數列{an},a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,(n∈N*)，寫出數列{an}的前5項.

這是一道很普通的寫出數列前幾項的習題，學生極其容易寫出其前五項，若本題就此罷休，則將會失去培養學生探索能力的良機，啟發學生再寫五項能發現什么?(從第七項開始重復出現)，與周期函數相似，原來是周期數列，新問題、新概念由此產生，比如這樣的問題：計算a2008,a1+a2+a3+…+a2007便是舉手之勞.

在高中數學教學中教師可讓學生變換、舍去、增加問題中的條件，提出相應的問題，這種策略學生容易掌握，且對于學生掌握概念的實質、理解問題很有幫助.例如在立體幾何的許多定理中可以嘗試刪去“面內、面外、交線”等條件產生新問題，更好地理解概念、定理的本質特點.在講解排列組合時可以更換相應的實際問題背景，以便突出排列組合實質，培養學生思維的發散性，促進雙基的鞏固.

三、追溯解題過程發現問題

數學解題應是一個反思性學習過程，精彩的問題往往來自對解答的不斷反思.反思可以針對數學中的圖形；針對數學解題中的某一步；針對數學解題中的思想方法，想想這樣的思想方法在其他情況下如何運用；針對解題中的錯誤，比如按照錯誤的解法應對應怎么樣的問題，從而提出新的問題.

1、在數形結合中發現問題

高中數學的數形結合思想在函數、向量、解析幾何、立體幾何中都得到淋漓盡致的體現.當在研究圖形或畫圖的過程中，若稍微注意可能會產生新的問題.

案例3 (必修2立體幾何P55練習)如果三個平面兩兩相交，則它們的交線有多少條?

學生在畫圖時，通過觀察教室墻面與墻面的位置關系，發現交線只有三種情況，如果不交于一條直線只有兩種情況，由此在定位交線時產生新的問題：(1)如果三個平面兩兩相交且不交于一條直線，則這三條交線的位置關系如何?如何證明.(2)三個平面把空間分成幾部分?(4或6或7或8).

2、數學解題中遇障礙發現關鍵問題

在解題過程中有時分析鏈突然中斷，思維受阻，無法建立新分析鏈陷入困境，這都是常有的事，但如何找到問題的關鍵才是師生應當關注的，在認知沖突中產生關鍵的問題.

案例4 (2006遼寧高考(文科)22題)已知點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是拋物線y2=2px(p>0)上的兩個動點， O是坐標原點，且向量OA擼琌B唄足|OA+OB遼=|OA -OB遼，設圓C的方程為x²+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.(1)證明線段AB是圓C的直徑；(2)當圓C的圓心到直線x-2y=0的距離的最小值為255時，求p的值.

學生由|OA+OB遼=|OA-OB遼，得到x1x2+y1y2=0，并求出圓心(x,y)的軌跡x=x1+x22=14p(y21+y22)=y2p-y1y22p，這時思路受阻，當群體想到條件x1x2+y1y2=0時，利用x1x2=y12y224p2,得出y1y2=-4p2，問題關鍵是沒有充分利用條件y1y2=-4p2，經歷了如此深刻的遇障過程，學生構造了以下的數學問題：

(1)拋物線y2=2px(p>0)，AB是過焦點的弦，求證y1y2,x1x2是定值.

(2)拋物線y2=2px(p>0)，AB是過對稱軸上的一定點M(m,0)的弦，求證y1y2,x1x2是定值.

(3)拋物線y2=2px(p>0)，A，B是拋物線上兩點，已知OA⊥OB，求證y1y2,x1x2分別是定值.

(4)拋物線y2=2px(p>0)，A，B是拋物線上兩點，已知OA⊥OB，求證直線過定點(2p,0).

(5)拋物線y2=2px(p>0)，點A，B是拋物線上兩點，點P是拋物線上的一定點，已知PA⊥PB，探究直線AB是否經過一定點.

另外學生對圖形進行進一步研究，得到更多的數學問題，比如圓錐曲線中以AB為直徑的圓與相應準線的關系.

3、在錯誤的解題過程中發現問題

在學生的數學學習中出現概念性、習慣性、遺漏性、過程性等類型的錯誤是不可避免的，解題錯誤并不可怕，如果能及時發現錯誤之處并由此及彼，從另一個角度來說比沒有做錯更好，這樣給學生自己多了一次探究、發現、鞏固的好機會，從而使數學知識結構更趨于完整、嚴密.

案例5 (必修2)已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是矩形，PA垂直于底面ABCD，請找出四棱錐中幾對線面垂直關系.

許多學生說AB⊥平面PBC，有的學生表示不同意，在群體的努力下把四棱錐補成長方體從而充分肯定這一結論的錯誤.這一錯誤的否定過程中，使學生的空間想象能力有了一定的提高，同時注意到立體幾何的線面關系必須以定理為依據，同時學生收獲最大的是明白學習立體幾何可以以長方體等常見幾何體為載體，這是同學們的深刻體會，這和教師直接告訴學生：“立體幾何要以長方體等常見幾何體為載體”的效果會截然不同.并借此機會同學們研究了更多的新問題.例如(1)三棱錐三對對棱長分別為a,b,c，求此三棱錐的體積.(2)過三棱錐的 一個頂點的三個頂角都為直角，則頂點在底面的射影是底面的什么心?底面是什么三角形?(3 )三棱錐的兩對對棱垂直，則第三對對棱所成角是多少?(4)三棱錐的四個面中最多有幾個直 角三角形?這些都可以在長方體或正方體中得以理解和解答.教學實踐表明：如果學生在平時 學習中重視對錯題這一環節的及時發現和總結得失，對發現問題能力的培養和數學雙基有舉 足輕重作用.

四、類比聯系提出問題

類比聯系是學生學習中必須掌握的一種提出問題的能力.學生有較強的機械記憶能力，若沒有類比聯系的提出問題和解決問題，也就是把數學問題局限于“自身”的小圈子里，知識是不能運用自如的，很難找到解決問題的鑰匙和途徑，但如果展開聯想的翅膀，與其他知識聯系起來進行類比，就能發現更多的問題，進而找到解決問題的突破口，其實在高中數學的各個模塊中知識的類同是很常見的.

案例6 必修1的初等函數模塊(除指數函數對數函數外)有以下常見的函數：y=ax+b,y=ax²+bx+c,y=ax+bcx+d,y=ax+bcx²+dx+e.

在學習必修4的三角函數時，可以讓學生類比必修1的函數類型構造三角函數類型，如y=a玸in玿+b玞os玿,y=a玸in2x+b玞os玿,y=a玸in2x+b玞os2x+c玸in玿玞os玿,y=a(玸in玿±玞os玿)+b玸in玿玞os玿,y=a玸in玿+bc玞os玿+d,y=玸in玿+ab玸in2x+c玸in玿+d，……，同樣在學習必修5的數列遞推式時構造出以下類型的問題：an+1=can+d,(n+1)a2n+1-na2n+an+1猘n=0,an+1=ca2n,an+1=ban+cdan+e等.

五、歸納推測擴充問題

有的問題可以經過歸納推測而提出來，同時學生通過歸納推測達到真正理解知識和概念，整理了平時零碎的知識點.教師可以在課堂教學中借助反思、小結等機會，培養學生從不同的單元、章節、學科識別模式、變換化歸提出問題.比如在立體幾何教學中學生用這一策略聯系平面幾何等歸納推測出許多類似的立體幾何問題，對知識作一個擴充.

案例7 判斷以下命題是否正確，若正確請證明，若不正確請說明理由.

1.過異面直線a,b中的一條，有且只有一個平面與另一條直線平行.

2.過異面直線a,b中的一條，有且只有一個平面與另一條直線垂直.

教師可以放手讓學生歸納猜測與異面直線a,b有關的命題，從而得出下面的結論：

3.直線c,d與異面直線a,b都相交，則直線c,d是異面直線.

4.過異面直線a,b外一點O，有且只有一個平面與直線a,b都平行.

5.過異面直線a,b外一點O，有且只有一個平面與直線a,b都垂直.

6.過異面直線a,b外一點O，有且只有一條直線與直線a,b都平行.

7.過異面直線a,b外一點O，有且只有一條直線與直線a,b都垂直.

7.過異面直線a,b外一點O，有且只有一條直線與直線a、直線b都是異面直線.

若以上命題中的“過異面直線a,b外一點O”全改為“空間中”例如命題“空間中有無數個平面與異面直線a,b都平行.”

六、從生活中感受數學應用問題

應用問題與社會實踐和社會生活緊密聯系，學生的應用意識培養，應用能力的提高不是簡單地靠高三數學總復習的強化訓練，應用問題的解決需要扎實的數學基礎知識外，還要有較強的閱讀能力、建模能力和較好的心理素質，這種能力無法在短期內培養和提高，因此應用數學要貫徹在學習數學的始終，日常生活中多用數學的眼光看待現實問題，比如銀行中的儲蓄和復利、環保、成本、利潤、房購、網絡等問題，用對應、函數的觀點去看待生活中的購物等，用最優、最省、最大、最小等觀點思考并提出生活中的問題，教師應教會學生如何識別哪些條件應摒棄，哪些需要理想化，如何從不同角度提出不同的問題.

對于每一個學生而言，學會提出問題是學好數學的需要，因此，培養學生提出問題的能力，可以讓學生深刻理解數學基礎知識，發展解決數學問題的能力.學生在“創新”意識的指導下，多方面、多角度地去考慮問題、探索問題、變換問題和提出問題，是對數學知識的一種最佳組合，是一種很好的促使數學雙基的學習方式.