高屋建瓴，與時俱進

高明生

1 試題分析報告

2008年湖南高考數學試卷緊扣2008年《考試大綱》，對高考的熱點、難點和重點進行了全面的研究總的印象是文科波瀾不驚，理科推陳出新，與時俱進，文、理科均能高屋建瓴，把握主次，抓住關鍵，平穩過渡文科與理科前面小題一般，理科大題前三道簡單，后三個比較難，主要是計算量大，解析幾何計算量大，尤其突出2008年湖南文科題與07年湖南文科題比較，對數學的基本概念的理解，要求更高了，整體思維量更大了除了個別題目看起來比較新穎，大部分的題目是大家比較熟悉的問題學生似曾相識，但是因為計算量大的原因，學生未必能得到多少分理科相對來說比2007年難度要大一些，文科還是不難的，感覺還是比較適中，在08年的試卷中，選擇題和填空題，尤其是選擇題，文理的差距比較大理科考生會感到理科試卷相對比較難，但是文科試卷就沒有特別的難，應該說還是在意料之中的，體現了文理的差別偏難，偏怪，無從下手的題沒有向量、函數和立體幾何中角的問題，不等式等考查難度和數量增加了

2008年湖南高考數學注重了對基礎知識的全面考查，同時又強調考查學生的思維能力，特別是注重對平面向量、概率與統計、導數應用等新知識的考查，而且是與其它知識交匯考查在試題的設計上，進行了一些創新嘗試比如理科第10題、第15題、文科第15題都是一個對能力要求較高的題，理科第10題與文科第15題與時俱進，均是創新題，把取整函數和組合公式以及函數的單調性很好地結合在一起，同時考查了分類討論的思想，是一道考查能力的好題理科第15題第1小問是對第2小問的提示，體現了做題的梯度，給人以猜想歸納的空間，做題過程中用到了分類討論的思想，恰到好處地把數列、概率、數學歸納法等知識巧妙地融合到一起，是一道綜合性較強的題理科第20題是一道存在性問題，先定義“相關弦”，再進行知識遷移，與拋物線知識、二次函數知識綜合運用，在第1小問中，巧妙地利用兩式相減，設而不求的方法求得斜率第2小問，利用了分類討論的思想來探討存在性問題，這道題把高中要掌握的主要知識點和常用解題方法進行了整合，是一道不錯的題，美中不足的是計算量太大，從而造成本題得分率低理科第19題是考生常見題，2003年考過同種類型，本題主要考查三角形基礎知識，以及學生的識圖能力和綜合運用三角知識解決實際問題的能力.運用解三角形的知識解決實際問題時，關鍵是把題設條件轉化為三角形中的已知元素，然后解三角形求之利用正、余弦定理解斜三角形問題一般與三角函數，數列、方程等知識結合，往往與生產生活實際相連.考查能否將諸如測量、航海、天體運行、物理及幾何等方面的相關問題，應用解三角形的知識進行求解.考查是否掌握應用解三角形知識解實際問題的解題步驟.從而考查綜合運用數學知識的能力，應予以高度重視；文科第20題與理科第18題可從近幾年的高考解答題中看出：有關數列的試題出現的頻率較高，不僅可與函數、方程、不等式、復數相聯系，而且還與三角、立體幾何密切相關；此類型試題是容易丟分的高檔題型．求遞推數列的通項公式的思維方向是轉化與化歸，這樣處理問題的目的是化陌生為熟悉，當然首選方向是化成等差或等比數列，也可通過構造把問題轉化，根據不同的遞推公式，采用相應的變形手段，達到轉化的目的．比如文科本題解答中體現了由特殊到一般的思想：先求a3,a4,由此得到靈感求得數列{an}的通項公式，第2問也是如此，先求出W1=0,W2=1,W3=32,W4=32,W5=54,W6=1516再猜想證明當k≥6時，Wk＜1.理科第21題，主要考查求對數函數與分式函數的導數、單調性的判定以及單調性的應用，是高考考查的重點，考題可以以中檔或大題形式出現. 利用導數去判別函數的增減性,是通過從函數的導數符號判別函數單調性的方法,關鍵是先求導，解不等式得單調區間，或者證明導數與0的大小關系來判別單調性. f(x)在某個區間內可導，若f ′(x)＞0,則f(x)是增函數；若f ′(x)＜0,則f(x)是減函數. 可導函數的最值可通過(a,b)內的極值和端點的函數值比較求得，但不可導函數的極值有時可能在函數不可導的點處取得，因此，一般的連續函數還必須和導數不存在的點的函數值進行比較，而文科題型相似，但要簡單得多

2008年湖南高考數學“陷井題”如下：理科第4題正態分布的概率問題，從2007年湖南考過，到今年已是第二次考了，在全國范圍內，好象是必考題一樣，有些省還作為大題考但作為必考題的二項展開式的通項公式，是歷來高考的必考內容（2008年湖南理科未考），文科第13題出現了，其常見的題型為選擇與填空題,屬基礎考查題.求解中需要注意二項式展開式中的冪指數的運算及符號的運算,注意演算中的細節,防止出錯.對于正態分布大綱要求較低；理科第6題是考查三角函數的圖象和性質的基礎題目，此類題目要求考生在熟練掌握三角函數圖象的基礎上要對三角函數的性質靈活運用，要求考生具有較強的分析能力和邏輯思維能力.在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強. 本人認為本題改為求函數f(x)=sin2x+3sinxcosx在區間［π４,π2］上的最小值更好，可以考查學生數形結合的能力，利用三角函數圖象求值域的功底有些學生在求得

f(x)=cos2π3cos2x+sin2π3sin2x+12=cos2π3-2x+12 后，不考慮定義域，憑余弦函數的有界性，瞎猜cos2π3-2x≤1赾os2π3-2x+12≤32，從而歪打正著選C，所以，本題求最大值，有失考查知識點的公平性，讓一些人蒙混過關；理科第7題著重考查向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加的形式：AB+BC+CD+…+PQ+QR=AR，但這時必須“首尾相連”．由此得出：“首尾相連”的封閉圖形的向量和為零向量，本題兩次用到了這個結論；理科第10題、理科第15題、文科第15題、均是在多個知識交匯處出的創新題，今年大多數題均是綜合題，多個知識點的綜合；文科第10題關鍵是考慮隱含條件：雙曲線x2a2-y2b2=1

(a＞0，b＞0)的右支上的點橫坐標大于a，從而利用雙曲線的性質構造不等式求解雙曲線離心率的取值范圍

總之本套試卷很好地代表了高考的命題趨勢和方向

2 失分探究

本套試卷側重于對基礎知識和基本方法的考查,注重通性通法,沒有過份地強調解題技巧,也沒有刻意地去追求知識的覆蓋面,對于重點內容重點考查,形式靈活、思路清晰.從總體的答題情況來看,學生的掌握情況還是不錯的,得分也較理想.通過本次測試反映出此試卷的區分度較為理想,試題的測試效果明顯,同時反映出學生對基礎知識、基本方法、基本技能等方面的掌握情況較好試卷難度適中,同時有一定的創新度既體現了主干知識、新知識重點考，更體現了主干知識、新知識交匯考

通過對學生的答題情況的統計來看，出錯的題目主要有：選擇題的第4題（理科），多數考生因為對正態分布的概率不熟，盲目亂填致錯；第7題（理科），沒有想到封閉圖形的向量和為零向量，從而做不下去，亂選草草收場；第10題（理科）、第15題（文科）、第15題（理科）知識遷移創新能力不夠，不知要表達什么樣的意思，意思都不能理解，如何做？第17題（理科），第18題（文科），均是立體幾何題，不善于用空間向量去解，導致計算量大而出錯；第18題（理科），第20題（文科）均是數列綜合題，三角函數、不等式、數列一混用，再加計算量大，就拿不到滿分了；第19題（理科），少數學生建模能力太差；第20題（理科），少數學生不會用整體代換、設而不求等方法來解，蠻算容易出錯文、理科的押軸題不是太難，只是計算量大，學生不會分步得分，有些甚至放棄，太可惜了

3 卷百分比

湖南省2008年高考數學試卷繼續保持2007年文、理科數學試題“異”大于“同”的特色湖南省2008年高考數學考試大綱中的基本理念決定了高考數學命題必須突出能力立意，在注重考查數學基礎的同時，要著重考查學生發現問題、分析問題和解決問題的能力，也就是重點考查學生的數學思維能力

今年文、理科數學試卷題型基本相似，難度上“異”大于“同”.理科的第9題與文科的第9題相同（5分），相同率占全卷分值的3.3%；理科與文科的第2題、3題、5題接近（15分），理科第7題與文科第11題、理科第10題與文科第15題接近（10分），共25分，接近率占全卷分值的16.7%；理科的第16題與文科的第16題（6分），理科的第17題與文科的第18題（12分），理科的第18題與文科的第20題（12分），理科的第20題與文科的第19題（13分），理科的第21題與文科的第21題（13分），共54分，這六道題題型類似，難度不同，類似率占全卷分值的36%；文、理科數學試卷題型相似率56%，難度上“異”大于“同”.

緊跟形勢，與時俱進，加大了與大學接軌知識點和閱讀教材的知識點的考查力度

實際遇到的許多隨機現象都服從或近似服從正態分布，總體分布研究中，選擇正態分布作為研究的突破口，正態分布在統計學中是最基本、最重要的一種分布 高考中要求我們了解正態分布的意義及主要性質即可正因為如此，即使現實生活中很有用的知識，因為高考考查概率非常?。ㄐ「怕适录?，有些甚至出現在閱讀教材中，高考考試大綱不作大的要求，平時少數同學甚至個別老師便置之不理，但這些知識點的確有用，又不能違背高考考試大綱，又要讓少數同學甚至個別老師引起重視，不要一切為了“高考轉”……為了解決上述矛盾，2006年湖北省高考數學理科第19題考查“正態分布”的統計應用題，利用“正態分布”引導考生學以致用, 考查學生運用概率統計知識解決實際問題的能力，這是“正態分布”這一知識點第一次出現在高考試題大題中. 2007年湖南省高考數學理科第5題考查“標準正態分布”的概率問題，利用“正態分布”引導考生學以致用, 考查學生運用概率統計知識解決實際問題的能力2008年湖南省高考數學理科第4題又考查了“標準正態分布”的概率問題；2008年湖南理科第10題、文科第15題的取整函數，以及加大了向量、導數的工具性作用等等跡象，表明了高考的選拔性作用，為大學中可繼續性學習打下基礎

4 湖南2009屆高三數學復習建議4.1 重視對《考試大綱》的研究

從宏觀上準確掌握《考試大綱》序言中的精神和考試性質，準確掌握考試的內容，做到復習不超綱；至少要對近5年（湖南高考自主命題后4年：2004年———2005年）湖南高考題認真分析，明確考試要求：考試內容的知識要求、能力要求和個性品質要求

4.2 近五年湖南數學高考試題的特點

4.2.1 強調基礎的更新，減少對單純知識、公式的記憶要求，降低對運算復雜性、技巧性的要求

4.2.2 考查時注意通性通法，淡化特殊技巧

4.2.3 “觀察、猜測、抽象、概括、證實”是發現問題和解決問題的一個重要途徑

4.2.4 以多元化、多途徑、開放式的設問作為背景，命題時注意試題的多樣性，設計考查數學主體內容

4.2.5 命題時堅持“貼近生活，背景公平，控制難度”的原則，把握好提出問題所涉及的數學知識和方法的深度和廣度，切合我國中學數學教學的實際

4.2.6 高考命題為文理科考生分別取材，提供新穎、別致的場景和刺激材料，區別對待，體現尊重個性、尊重差異的思想

4.3 第一階段復習方法建議

4.3.1 狠抓基礎，構建知識結構和認知結構

以課本為主，重新全面梳理知識、方法，注意知識結構的重組與概括，揭示其內在的聯系與規律，從中提煉出思想方法

4.3.2 突出重點、狠抓落實、夯實基礎

系統地對數學知識進行整理、歸納、溝通知識間的內在聯系，形成縱向、橫向知識鏈，構造知識網絡，從知識的聯系和整體上把握基礎知識

認真領悟并熟練掌握數學思想，正確應用它們分析問題和解決問題

發揮選擇題，填空題的思維訓練和能力訓練功能

4.4 第二階段復習的原則與策略

4.4.1 注重知識重組的原則

4.4.2 嚴謹治學的原則

4.4.3理論聯系實際的原則

4.4.4關注“熱點問題”原則

4.4.5形成思維體系和方法的原則

4.5 三個階段復習安排，各有側重

高考復習的三階段安排已經是一個常規，第一個階段全面復習，第二階段專題講座，第三階段模擬訓練

4.5.1 全面復習

抓住以下幾點：①概念的準確理解和實質性理解；②基本技能、基本方法的熟練和初步應用；③公式、定理的正逆推導運用，變形和巧用

4.5.2 專題講座

專題的選取可包括：

①全面復習過程中反映出來的弱點；

②教材體系中的重點；

③近年高考試題中的熱點；

④基本數學思想方法的系統介紹

⑤解題應試技巧

⑥綜合專題

4.5.3 模擬訓練

組織精選模擬試題建立：“一周一套題，一天一道題”

組織好每套試卷的評講基本項目包括：①本題考查了哪些知識點？②怎樣審題？怎樣打開思路？③主要運用了哪些方法和技巧？關鍵步驟在哪里？最本質的步驟有哪些？④指出學生答題中的典型錯誤，分析其知識、邏輯上、心理上和策略上的原因；⑤介紹、表揚學生中的優秀、新穎解法；⑥試題評分標準及分步得分要領；⑦應試策略和技巧；⑧題目的縱橫聯系等

建立考情檔案，進行綜合指導

4.6 對于教師的要求

首先要堅持探究，課堂最常見方式是一題多解其次，該刪除的內容就刪除不講，沒有必要深入添講；其二對學生解題的規范要求，應該從平時就加以注意，將寫得規范與否提高到邏輯推理能力的是否強弱的高度來對待；最后，知識點要全面覆蓋按照我們的教學進度，所有新的內容在高一高二都已經全部結束了所以高三一輪復習應該全部都覆蓋尤其是今年的高考題，要求概念一定要深入理解絕對不能知其然不知其所以然

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文