應(yīng)用向量法證明正（余）弦定理

于志洪

向量法是一種解析方法，此法在證幾何題時(shí)，由于具有幾何的直觀性，表述的簡潔性和處理方法的一般性，因此對于數(shù)學(xué)知識的融匯貫通很有幫助

現(xiàn)僅就著名的正（余）弦定理的向量證明進(jìn)行介紹，供高二學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)參考

1 正弦定理的向量法證明

在任意△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，則asinA=bsinB=csinC

證明 如圖1，作CD⊥AB于D

因?yàn)榉忾]線段在任意軸上投影的代數(shù)和為零

又因?yàn)锳B⊥DC，所以AB在軸DC上投影為零；而AC在DC上投影為bsinA,CB在DC上投影為-asinB.

所以bsinA-asinB=0,所以bsinA=asinB.

所以asinA=bsinB同理可證得

bsinB=csinC,csinC=asinA,

所以asinA=bsinB=csinC

2 余弦定理的向量法證明

在任意△ABC中，a、b、c為∠A、∠B、∠C的對邊，

則a2=b2+c2-2bccosA,

b2=a2+c2-2accosB,

c2=a2+b2-2abcosC,

證明：如圖2，在已知△ABC的三邊AB、BC和CA上，分別取從B向A、從B向C和從A向C為正方向，這樣就得到三個(gè)向量BA、BC和AC，并且BA+AC=BC根據(jù)關(guān)于向量的射影定理可知：

BC的射影=BA的射影+AC的射影

BC在軸BC上的射影=|BC|cos0°=a;

BA在軸BC上的射影=|BA|cosB=ccosB;

AC在軸BC上的射影=|AC|cosC=bcosC;

所以a=ccosB+bcosC①

同理可證得：

b=acosC+ccosA②

c=acosB+bcosA③

再由①·a-②·b-③·c,即可得到a2=b2+c2-2bccosA.

同法：b2=a2+c2-2bccosB

c2=a2+b2-2abcosC

上述向量法證明正（余）弦定理，不必去區(qū)分銳角、鈍角、直角三角形，從而大大簡化了證明過程，因而值得介紹

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文