體育賽事中的概率

余錦銀

體育賽事中的“分組問題”、“輸贏的預測”、“結束場數的判定”等都要用排列組合和概率統計知識通過計算獲得其結果.

1 比賽中分組問題的概率計算.

例18個籃球隊中有2個強隊，先任意將這8個隊分成兩個組（每組4個）進行比賽，求這兩個強隊被分在一個組內的概率.

法一（直接法）：

兩個強隊分在同一組，包括互斥的兩種情況：兩個強隊都分在A組或B組，2個強隊都分在A組，可看成“從8個隊中抽取4個隊，里面包括2個強隊”這一事件，其概率為C26C48；對等的有2個強隊都分在B組，可看成“從8個隊中抽取4個隊，里面包括2個強隊”這一事件，其概率為C26C48，則2個強隊分在同一組的概率為2·C26C48=37

法二（間接法）：

“兩個強隊被分在一個組”的對立事件為“2個組中各有1個強隊”，而2個組中各有一個強隊，可看成“從8個隊中抽取4個隊，里面恰有1個強隊”這一事件，其概率為C12C36C48=47

，所求事件的概率為：1-47=37

點評 如何認識兩個強隊被分在一個組內？如何完成？不同的思維過程將會產生不同的解法.

2 比賽中輸贏問題的概率計算

例2 甲、乙兩名圍棋手進行比賽，已知甲每一局獲勝的概率為35，乙每一局獲勝的概率為25，比賽可采用三局二勝制或五局三勝制，請你預測在那一種比賽制度下，甲獲勝的可能性大？

解 三局兩勝制中甲獲勝分為：甲前兩局全勝或前三局中前兩局中一負，第三局必勝，則概率P1=0.62+C12×0.6×0.4×0.6=0.648;

五局三勝制中甲獲勝分為：甲前三局全勝；或四局中前三局兩勝一負，且第四局必勝；或五局中前四局二勝二負，第五局必勝，則概率P2=0.63+C23×0.62×0.4×0.6+C24×0.62×0.42×0.6=0.68256;

由以上的計算知，在五局三勝制中甲獲勝的可能性大.

點評 認識三局二勝制、五局三勝制所進行的場數，用互斥事件分類，每類都用相互獨立事件同時發生的概率，用分步乘法原理計算概率.

例3 某廠進行乒乓球比賽，A勝B的概率為0.4 ,B勝C的概率為0.5,比賽沒有平局，按如下順序進行：第1局 A與B；第2局，第1局勝者與C；第3局，第2局勝者與第1局戰敗者；第4局，第3局勝者與第2局敗者.求B連勝4次的概率.

解 理解順序和連勝4次的意義，相互獨立同時發生的事件的概率，分步研究：

第1局中B勝A的概率為1-0.4=0.6；第2局中B勝C的概率為0.5；第3局中B勝A的概率為1-0.4=0.6；第4局中B勝C的概率為0.5，這4步相互獨立事件同時發生的概率，由乘法公式得B連勝4次的概率為 0.6×0.5×0.6×0.5=0.09.

結論1 設排球隊A與B進行比賽，若有一隊勝四場則比賽宣告結束（不出現和局）.通常，若兩隊技術水平相差懸殊，則需要比賽的場數更少；若兩隊技術水平相當，則需要比賽的場數更多，試用概率知識解釋這一事實.

解析 設在每場比賽中A勝B的概率為p，B勝A的概率為q=1-p(0≤p≤1)，進行n場比賽，可看做是進行n次獨立重復試驗，其中A隊B隊比賽k場的概率為Cknpkqn-k.

設比賽宣告結束時，比賽場數為隨機變量ξ.因為有一隊勝4場比賽才宣告結束，所以比賽至少要進行4場，即ξ≥4；又如果比賽進行7場，兩隊中總有一隊要勝4場，這時比賽必定結束，所以ξ≤7，ξ的取值集合為{4,5,6,7}.

“ξ=k”表示比賽k場即決出勝隊，即A在第k場取勝，在前k-1場中又勝了3場，或者B在第k場取勝，而在前k-1場中又勝了3場，從而P(ξ=k)=C3k-1p4qk-4+C3k-1pk-4·q4，k=4,5,6,7.

因為p+q=1

所以P(ξ=4)=1-4pq+2p2q2,P(ξ=5)=4pq-12p2q2,P(ξ=6)=10p2q2-20p3q3,P(ξ=7)=20p3q3.

E(ξ)=4P(ξ=4)+5P(ξ=5)+6P(ξ=6)+7P(ξ=7)=20p3q3+8p2q2+4pq+4

設t=pq=14-（p-12)2,0≤t≤14，當t接近于0時，說明雙方水平相差懸殊，當t接近于14時，說明雙方水平相當.

因為E(ξ)=f(t)=20t3+8t2+4t+4，在［0,14］上是增函數，所以當雙方水平的差距逐漸縮小時，比賽的平均場數則逐漸增多. 特別地，當某隊占絕對優勢時，即t=0，E(ξ)=4，只需平均比賽4場；當兩隊水平一樣時，即t=14,E(ξ)=5.8125(場)，需要平均比賽約6場.

3 比賽的平均場數的確定

例4 設籃球隊A與B進行比賽，每場比賽均有一隊獲勝，若有一隊獲勝4場，則比賽宣告結束.假定A、B在每場中勝的概率均為12，那么比賽平均需要幾場才能結束？

解 理解一隊獲勝4場，比賽平均需要場數就是求以“場數為隨機變量”的數學期望.設場數為隨機變量ξ,P(ξ=4)=2×C44(12)4=216,

P(ξ=5)=2C34(12)3(12)(12)=416,

P(ξ=6)2×C35(12)3(12)2(12)=516,

P(ξ=7)=2C36(12)3(12)3(12)=516.

則結束比賽的平均場數Eξ=5.8125，由于兩隊實力相當，故平均要進行六場比賽才能結束.

例5 如果甲、乙兩名乒乓球選手進行比賽，而且他們的水平相當，規定“七局四勝制”，若已知甲先勝兩局.

（1）求乙取勝的概率； （2）試確定比賽的平均場數.

解 注意前提甲先勝兩局，先分類后分步確定.

（1）甲先勝兩局，乙取勝再勝4局；3，4，5，6四局中勝3局且第7局必勝，其概率P=(12)4+C34(12)3(12)(12)=316

（2）設在甲勝兩局的前提下，結束比賽再需要場數為η.

P(η=2)=(12)2=14,

P(η=3)=C12×12×12×12=14,

P(η=4)=C13×12×(12)2×12+(12)4=14(系兩類)，

P（η=5）=C14×(12)1×(12)3×12+C34(12)3×(12)×(12)=14(系兩類)，

于是，結束比賽的平均場數為E(η+2)=Eη+2=72+2=112，由于兩隊實力相當，故平均要進行六場比賽才能結束.

結論2 A、B兩隊之間要進行一場比賽，若在每場比賽中A勝B的概率為p，且0

析 賽制通常有：一局一勝制、三局兩勝制、五局三勝制、七局四勝制等.

解 設一局一勝制中，A勝的概率為p1，則p1=p.

設三局兩勝制中，A勝的概率為p2，則p2=p2（頭兩局A勝）+C12p(1-p)·p(頭兩局只勝一局且第三局A勝)=p2+2p2-2p3=3p2-2p3，因為p1>0，p2>0，當p∈(0,0.5)時，有p2p1=3p-2p2∈(0,1)，所以p2

設五局三勝制中，A勝的概率為p3，同理，p3=p3+C24p2(1-p)2·p=p3+6p3(1-p)2.

p3-p2=p2［p+6p(1-p)2］-p2(3-2p)=3p2［2p3-4p2+3p-3］，令f(p)=2p3-4p2+3p-3,則f′(p)=6p2-8p+3，此時，f′(p)=0的判別式Δ=(-8)2-4×6×3=-8<0，所以f′(p)恒正，所以f(p)在p∈(0,0.5)單調遞增，所以f(p)min=f(0)=-3<0，所以p3-p2<0,所以p3

設七局四勝制中，A勝的概率為p4，同理有p4=p4+C36p3(1-p)3·p=p4+20p4(1-p)3

p4-p3=p3［p+20p(1-p)3］-p3［1+6(1-p)2］=p3(1-p)(20p3-40p2+26p-7)，令g(p)=20p3-40p2+26p-7,則g′(p)=60p2-80p+26,令g′(p)=0得p=80±(-80)2-4×60×262×60=20±1030>0.5，即函數g(p)的兩個極值點在區間(0,0.5)外，所以g(p)在p∈(0,0.5)單調，g(0)=-7<0，g(0.5)=-1.5<0，所以g(p)在p∈(0,0.5)恒負，此時1-p>0，所以p4-p3<0，故p4

綜上所述，p4

在現實生活中，我們舉辦的各級各類比賽，都是為了選出優勝者，選出冠亞軍，其實，賽出的冠軍，實力并不一定是真正的第一，要想通過比賽選出名副其實的第一，理論上比賽場數越多越好，但場數過多又需投入太多人力物力，為了兼顧這兩方面的平衡，現在很多國際賽制已由五局三勝制改為七局四勝制.

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