２００６年莫斯科大學入學試卷的一道壓軸題的一般情形

2006年莫斯科大學數學力學系入學考試數學試卷的一道壓軸題是（表述略有改動）：

求二元函數z=|2x-y-1|+|x+y|+|y|的最小值.

俄羅斯《中學數學》雜志2007年第1期上給出了該題的一種解法，此解法巧妙地利用了數形結合的思想，簡潔的求得了最小值，解題過程中應用了這樣一個事實：在數軸上有三個點，它們的坐標分別為y1,y2,y3(y1

文［1］運用以上事實又給出了一種解法，本文將運用點到直線的距離公式簡捷地解答本題：

得z=5·|2x-y-1|22+12+2·|x+y|12+12+|y|,所以z表示平面直角坐標系xoy中的動點P（x,y）到直線l1:2x-y-1=0的距離d1的5倍、直線l2:x+y=0的距離d2的2倍、直線l3:y=0(即x軸）的距離之和.（請讀者自己畫圖）

得l1,l2;l2,l3;l3,l1的交點分別是p3(13,-13),p1(0,0),p2(12,0).

結合圖形易知點P只有在△p1p2p3的內部（包括邊界上）時，z才可能取到最小值；進而可得，點P只有在△p1p2p3的頂點時，z才可能取到最小值.而當點P分別是p1，p2，p3時，z的值分別為13，1，12，從而可得z的最小值，為13（當且僅當x=13,y=-13時取到最小值）.

早在2000年，筆者就發表了文章《四種Fermat點及其作法》［2］,該文第4節“3型Fermat點及其作法”給出了上面題目的一般情形及其解法（讀者可閱讀原文）：

定義 在空間里，若點p3到已知的三條共面直線a,b,c的距離之和最小（此時必有p3,a,b,c共面），則點p3叫做a,b,c的3型Fermat點.

定理 當三條直線a,b,c可圍成△ABC時，若p3是a,b,c的3型Fermat點，則

（1）當△ABC是正三角形時，p3為△ABC內（包括邊界上）的任意點.

（2）當△ABC是腰大于底的等腰三角形時，p3為底上的任意點.

（3）其他情形時，p3為△ABC的最大內角項點.

參考文獻

［1］ 戎松魁，李學軍.一個俄羅斯高考題的特殊解法［J］.中學數學，2008，6。

［2］ 甘志國.四種Fermat點及其作法［J］.數學通訊，2000，23.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文