一道無理函數值域的不同解題方法

舒飛躍

數學的主要功能是解決問題.因此，具體的解題中選擇解題的方法是十分重要的，不同的思維過程對解題方法選擇起到關鍵性的作用.下面以一道無理函數值域的求解為范例，具體展示一下不同的思維過程對解題方法不同層次的思考，供參考.

問題： 求函數y=x+4+5-x2的值域.

1 以代數為基礎的思考

在解題中以代數為基礎思考，經常會用到方程，三角變換，數形結合等解題思想.

1.1 方程的思想（判別式法）

解法1 y-(x+4)=5-x2,平方整理得，2x2+(4-y)x+y2-8y+11=0,

因為x∈R,所以Δ≥0，所以y2-8y+6≤0,所以4-10≤y≤4+10，但

y≥x+4,當x=-5時，y≥4-5,所以4-5≤y≤4+10.

點評 用判別式法求解函數值域時，要注意其等價性.

1.2 三角代換

解法2 函數的定義域為|x|≤5，

所以令x=5sinθ,(-π2≤θ≤π2).所以y=5sinθ+4+5(1-sin2θ)=4+10sin(θ+π4),

因為-π2≤θ≤π2,-π4≤π4+θ≤3π4,

所以-22≤sin(θ+π4)≤1,所以4-5≤y≤4+10.

點評 上面的解題過程，要注意角的取值范圍與代換內容一致.

圖1

1.3 數形結合思想

解法3 令t=x,s=5-x2,則t2+s2=5,從而問題轉化為約束條件為t2+s2=5

s≥0

t∈R,求函數y=t+s+4的最值問題，根據約束條件，畫出

可行域（如圖1）可行域是圖中弧AB（含端點）.

于是，y在A點取得最小值為4-5,直線與

弧AB相切時，取得最大值為4+10.

所以4-5≤y≤4+10.

點評 在解題中注意到將函數轉化為與圓錐曲線方程有關的約束條件，把函數變成目標函數，利用線性規劃的思想可完成函數的值域的求解.

2 以解析幾何為基礎的思考

2.1 利用點到直線的距離公式來解

解法4 可根據解法3，問題可轉化為最值點在圓t2+s2=5上.由圓與直線的位置關系，得

|0+0-4-y|2≤5，

解得4-10≤y≤4+10,

又s=y-(t+4)≥0,即y≥t+4,(|t|≤5)

所以當t=-5時，y=4-5.

所以4-5≤y≤4+10.

點評 充分利用解析式的結構特點，將問題轉化為圓和直線的位置關系，使問題得到解決.

2．2 利用斜率公式求解

解法5 因為函數的定義域為［-5,5］.令x=5sinθ,5-x2=5cosθ,其中-π2≤θ≤π2,則函數轉化為y=5sinθ+5cosθ+4.

設sinθ=2t1+t2,cosθ=1-t21+t2,(-1≤t≤1).

則y=25t1+t2+51-t21+t2+4=(4-5)+

25t+11+t2.

令X=t2,Y=t,則y=(4-5)+25Y+11+X.

圖2

設k=Y+1X+1,則k表示定點A(-1,-1)與拋物線Y2=X(-1≤Y≤1)上動點P(X,Y)連線的斜率(如圖2),由圖2,可知kAC≤k≤kAP0,其中直線AP0與拋物線Y2=X相切,P0為切點.

由k=Y+1X+1,X=Y2,消去X,得kY2-Y+k-1=0,

由Δ≥0,知(-1)2-4k(k-1)≥0,解得

1-22≤k≤1+22

因為kAP0>0,所以kAP0=1+22

又kAC=0,0≤k≤1+22,而y=4-5+25k

所以4-5≤y≤4+10.

點評 只要把所求問題轉化為斜率公式的形式，利用斜率的幾何意義就可求解.

3 以新工具為基礎的思考

3.1 向量法

向量工具可以解決與長度，距離，角度有關的問題

解法6 構造向量a=(1,1),b=(t,s)=(x,5-x2

),原函數轉化為y=a·b+4，由5-x2≥0,得-5≤x≤5.所以0≤s≤5,-5≤t≤5,|b|=5.

由a與b的終點形成的圖形（如圖3）.當a與b夾角最小時，

ymax=|a||b|+4=10+4.

圖3

當a與b夾角最大時，ymin=|a||b|cos3π4+4=-5+4.

所以4-5≤y≤4+10.

點評 利用向量的數量積公式中，若|a|,|b|均為定值,的變化來確定最值，當最小時，取得最大值.當最大時，得到最小值.利用向量求函數的值域得到完整解決.

3.2 用導數求解

在閉區間［a,b］內連續的函數f(x)在［a,b］上必有最大值與最小值.本題求函數的值域問題可轉化為函數y=x+4+5-x2在區間［-5,5］上的最大值與最小值.用導數處理相當方便.

解法7 y′=1+125-x2(5-x2)′=25-x2+2x25-x2,

令y′=0,有25-x2+2x=0,解得x=±102.

由f(-5)=4-5,f(-102)=4,f(102)=4+10,f(5)=5+4.

所以函數的最大值為4+10,最小值為4-5.

所以函數的值域為4-5≤y≤4+10.

點評 利用求導討論函數單調性,求函數的最值來完成函數的值域問題.

總之，在解題時要發現不同知識的交匯，為解題提供新的思考角度，使問題得到全新的詮釋.

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