平面圖形的直觀圖中線段的變化規律探討

李鳳華　孔憲榮

《普通高中課程標準實驗教科書(數學)》必修2中，對水平放置的平面多邊形的直觀圖的畫法，采用了斜二測畫法.在畫圖規則中，規定了平行于軸的線段的平行性不變；平行于x軸的線段的長度不變，平行于y軸的線段的長度縮為原來的一半.而對于不平行于軸的平行線段是否仍平行，不平行于軸的線段的長度是否改變呢？本文借助平面向量對此類問題加以探討.

問題1 已知線段AB和CD，在直觀圖中分別對應線段A′B′和C′D′.若AB∥CD,則A′B′∥C′D′嗎？

解 設i,j,i′,j′分別是x軸，y軸，x′軸,y′軸的正方向的單位向量，則可設AB=xi+yj,由CD∥AB,得：CD=mAB=mxi+myj,據斜二測畫圖規則，得

A′B′=xi′+12yj′,C′D′=mx

i′+12myj′

=mA′B′,

所以C′D′∥A′B′.

故A′B′∥C′D′.

問題2 已知線段AB和CD,在直觀圖中分別對應線段A′B′和C′D′，若|AB|=|CD|且AB∥CD,則|A′B′|=|C′D′|嗎？

解 若|AB|=|CD|且AB∥CD,則CD=AB，由問題1求解過程（相當于m=1時的情況）知，C′D′=A′B′,

所以|A′B′|=|C′D′|.

問題3 探究不平行于軸的線段AB的長度與其直觀圖A′B′的長度之間的大小關系.

解 由問題2的結果知，相等的平行線段在直觀圖中仍相等，因此可把線段AB平移到OP，且使OP方向向上.可設OP=xi+yj(其中y>0)，則O′P′=xi′+12yj′.

于是有

|OP|=|O′P′|趚2+y2=x2+14y2+22xy趛=223x;

|OP|>|O′P′|趚2+y2>x2+14y2+22xy趛>223x;

|OP|<|O′P′|趚2+y2

所以，當OP即點P在射線y=223x(x>0)上時，

|OP|=|O′P′|;當

OP在射線y=0(x>0)與y=223x(x>0)之間時，

|OP|<|O′P′|；當OP在射線y=0(x<0)與y

=223x(x>0)之間時，|OP|>|O′P′|.

由于OP方向向上，它的位置可通過其所在直線的傾斜角體現；又因為AB∥OP且|AB|=|OP|，所以，直線AB和直線OP的傾斜角相等，記為θ,則當θ∈(0,arctan223)時，線段AB的長度在直觀圖中變長；當θ=arctan223時，線段AB的長度在直觀圖中不變；當θ∈(arctan

223,π)且θ≠π2時，線段AB的長度在直觀圖中變短.

問題4 在問題3中，記|A′B′|2=m|AB|2,則（1）m的變化范圍是什么？（2）它與直線AB的傾斜角θ有何關系？

解 （1）在OP=xi+yj中，y=xtanθ,則由問題3的求解過程知

|AB|2=x2+y2=(1+tan2θ)x2,

|A′B′|2=(x2+y24+22xy)=14(tan2θ+22tanθ+4)x2,

所以m=tan2θ+22tanθ+44(tan2θ+1).

令t=tanθ,s=4m,則s=t2+22t+4t2+1(其中t∈R)，于是有

（s-1)t2-22t+(s-4)=0.

當s≠1時,(-22)2-4(s-1)(s-4)≥0,即s2-5s+2≤0,解得

5-172≤s≤5+172;

當s=1時，t=-324也符合.

所以,m=14s∈［5-178,5+178］.

故所求m的范圍是［5-178,5+178］.

(2)s′=-22t2-6t+22(t2+1)2,令s′=0,得t1=-3-1722,t2=-3+1722,所以

s′=-22(t--3-1722)(t--3+1722)(t2+1)2.

當t∈(-∞,-3+1722)時，s′<0,s是關于t的減函數；當t∈(-3+1722,-3-1722)時，s′>0,s是關于t的增函數；當t∈(-3-1722,+∞)時，s′<0,s是關于t的減函數.

故當t=-3+1722,即θ=π+arctan(-3+1722)時，smin=5-172,mmin=5-178;

當t=-3-1722,即θ=arctan(-3-1722)時,smax=5+172,mmax=5+178.

綜上可知，平行線段在直觀圖中仍平行；平行且相等的線段的直觀圖仍為平行且相等的線段；不平行的等長線段在直觀圖中不一定相等；不平行于軸的線段長度與其在直觀圖中線段長度的大小關系取決于線段所在直線的傾斜角，但它并非無限制的變長或變短，其變化率為

［10-2174,10+2174］.

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