一道高考題蘊含的解題思想方法及其應用

曹　軍

1 一道高考題蘊含的思想方法

2008年高考江蘇卷的19題的第（2）小題是：

求證 對于一個給定的正整數n(n≥4)，存在一個各項及公差都不為零的等差數列，b1,b2,…bn,其中任意三項（按原來順序）都不能組成等比數列．

本題主要考查學生運用等差數列和等比數列知識進行探索、分析及論證的能力，學生普遍反應難度較大，從標準答案看，其論證的思想方法頗具特色，與大數學家歐幾里得關于“質數個數是無窮的”結論的證明方法如出一轍，我們先看解答：

證明 假設對于某個正整數n(n≥4)，存在一個公差為d的等差數列b1,b1+d,…，b1+(n-1)d(b1d≠0),其中三項b1+m1d,b1+m2d,b1+m3d成等比數列，這里0≤m1

(m1+m3-2m2)b1d=(m22-m1m3)d2①

由b1d≠0知，m1+m3-2m2與m22-m1m3同時為0或同時不為0．

若m1+m3-2m2與m22-m1m3同時為0，則有(m1-m3)2=0，從而m1=m2=m3，與題設不符，故必有m1+m3-2m2與m22-m1m3同時不為0，所以由①得

b1d=m22-m1m3m1+m3-2m2②

因為0≤m1

上述證法的實質是：在反設基礎上得到②式后，通過構造滿足b1d為無理數的一個等差數列1，1+2，1+22，…，1+(n-1)2揭露矛盾，從而肯定原結論正確，它所蘊含的解題思想方法是“在反證法中構造特殊元揭露矛盾”，其步驟是：反設結論→構造特殊元→揭露矛盾→肯定結論．大數學家歐幾里德關于“質數個數是無窮的”結論的證明，也正是采用了這種思想方法，被世人堪稱為演繹推理的典范，我們不妨欣賞一下：

證明 假設在正整數中只有有限個質數，不妨設它們為p1,p2,p3,…，pk,構造一個正整數Q=p1p2p3…pk+1，因為Q是大于1的正整數，所以它一定有一個質因數p，那么或者p是p1,p2,p3,…,pk中的某一個，或者p是p1,p2,p3,…，pk以外的質數．如果p是p1,p2,p3,…，pk以外的質數，則與假設矛盾；如果p是p1,p2,p3,…，pk中的某一個，則由p能整除Q且能整除p1p2p3…pk，推得p能整除1，這與p是質數矛盾．從而質數個數無窮．

運用“在反證法中構造特殊元揭露矛盾”的思想方法解題，往往能起到四兩撥千斤的效果，下面舉例說明．

2 思想方法應用舉例

例1 能否將兩個1，兩個2，…，兩個1990排成一列，使得每兩個i（1≤i≤1990）之間恰好有i個數？

證明 假設存在滿足題設要求的一個排列，將這個數從左至右編上號碼1，2，3，…，2×1990，構造一個特殊數N，使得N等于所有號碼數之和，即N=1+2+3+…+(2×1990)，

一方面，N=1+(2×1990)2×(2×1990)=1990(1+2×1990)為偶數；

另一方面，由于每兩個i之間恰好有i個數，所以當i為奇數時，這兩個i的號碼有相同的奇偶性，號碼和為偶數；當i為偶數時，這兩個i的號碼必是一奇一偶，號碼和為奇數．又由于1至1990中有995個奇數，995個偶數，所以兩個1，兩個2，…，兩個1990中一共有995對i的號碼和為偶數，其余995對i的號碼和為奇數，于是所有號碼數之和N為奇數．兩方面矛盾．

所以，不能將兩個1，兩個2，…，兩個1990排成一列滿足題設要求．

點評 在假設之下，通過對2×1990個數編號，構造特殊數N=1+2+3+…+(2×1990)，抓住每兩個i的號碼的奇偶性規律，分析N的奇偶性，進而揭露矛盾．

例2 已知a,b,c,d均為小于1的正數，求證：a(1-b),b(1-c),c(1-d),d(1-a)四個式子中至多有三個大于14．

證明 假設a(1-b),b(1-c),c(1-d),d(1-a)都大于14，構造一個特殊式子：

T=a(1-b)·b(1-c)·c(1-d)·d(1-a),由已知得1-a>0,1-b>0,1-c>0,1-d>0．

一方面，T=a(1-b)·b(1-c)·c(1-d)·d(1-a)=a(1-a)·b(1-b)·c(1-c)·d(1-d)≤［a+(1-a)2］2·

［b+(1-b)2］2·

［c+(1-c)2］2·

［d+(1-d)2］2=1256;

另一方面，T>(14)2=1256，矛盾．

故a(1-b),b(1-c),c(1-d),d(1-a)四個式子中至多有三個大于14．

點評 在假設之下，充分利用式子的結構特點，聯想基本不等式，巧妙構造特殊式子，T=a(1-b)·b(1-c)·c(1-d)·d(1-a),分析T的取值情況，進而揭露矛盾．

例3 設有一個有窮數列{an}，任意連續五項之和均為負數，任意連續九項之和均為正數，求證：n必不大于12．

證明 假設n大于12，也即n≥13，不妨取數列{an}的前13項a1、a2、…、a13來考察，構造一個如下的特殊數陣：

由題意，豎看9列中的45 個數之和為負，橫看5行中的45個數之和為正，矛盾．故n必不大于12．

點評 在假設之下，通過構造特殊數陣（圖1），利用數列{an}任意連續五項之和均負，任意連續九項之和均正這個條件，分析數陣中45個數之和的正負，進而揭露矛盾．

例4 求證：用1×4的長方形紙片不能拼成一個6×6的正方形棋盤．

證明 假設能用若干個1×4的長方形紙片拼成一個6×6的正方形棋盤，則在6×6的正方形棋盤單元格內填上數字1、2、3、4，構造一張如下的特殊表格：

一方面，由于每個1×4的長方形單元格內數字1，2，3，4各出現一次，所以若干個1×4的長方形單元格內數字1，2，3，4出現的個數必相等；

另一方面，表格中數字1，2，3，4的個數分別是9，10，9，8，個數不相等，矛盾．

故用1×4的長方形紙片不能拼成一個6×6的正方形棋盤．

點評 在假設之下，通過填數字構造特殊表格（圖2），分析數字1，2，3，4的個數

特點，進而揭露矛盾．

例5 任意剪六個大小相同的圓形紙片放在桌上，使得沒有一個紙片的中心落在另一個紙片上或被另一紙片蓋住，然后用一枚針去扎這一堆紙片，不論針尖落在哪點上，總不能一次把六個紙片全部扎中，試證明這個結論．圖3

證明 假設能一次把六個紙片全部扎中，則存在一點P，同時位于六個圓的內部，構造一個特殊模型（圖3），設這六個圓的半徑為r，圓心依次為O1，O2，…，O6，連接PO1，PO2，…，PO6，則它們的長都小于r ．

因為沒有一個紙片的圓心落在另一個紙片上，所以任

何兩個圓心間的距離都大于r，由此推知∠O1PO2，∠O2PO3，

…，∠O6PO1均大于60°，所以它們的和大于360°，這與它

們的和等于360°矛盾．

故不論針尖落在哪點上，總不能一次把六個紙片全部扎中．

點評 在假設之下，通過構造特殊模型（圖3），分析∠O1PO2，∠O2PO3，…，∠O6PO1之和的特點，進而揭露矛盾．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文