高中選修《開關電路與布爾代數》的內容分析與教學建議

人教A版普通高中數學課程標準實驗教科書(選修4－10)《開關電路與布爾代數》是根據教育部制訂的《普通高中數學課程標準(實驗)》(以下簡稱《標準》)選修系列4第10個專題“開關電路與布爾代數”的要求編寫的根據《標準》的要求，教科書以開關電路設計為背景引入一種類似數的對象并引入這些對象之間的運算因為，在初中物理中，我們都學習了基本電路——串聯電路和并聯電路已經熟悉了這些電路的基本功能，也能熟練地利用這些電路搭建較為復雜的電路那么能不能用數學來幫助我們刻畫這些現象呢？于是，我們將對這種新的運算系統進行探討，得出類似于“數的運算”的各種性質最后應用這個數學理論，徹底解決開關電路的設計問題這就是本專題將要解決的問題本文結合教學實踐，通過具體的典型案例分析其中的重要數學思想，并提出教學建議，以期拋磚引玉

1 《標準》中對開關電路與布爾代數的定位

開關電路與布爾代數是《標準》中新增加的內容，《標準》在高中數學課程選修系列4中設置了開關電路與布爾代數的內容，開設的目的是：讓學生體會數學從不同的實際問題經抽象、概括后，得到符號化、形式化的數學理論，最后將該理論應用到解決實際問題的一般規律

本專題以設計由三人控制一個電燈的電路為背景，從開關電路設計，提出一個具體問題，將電路設計數學化為電路代數和電路多項式，完全解決最初提出的問題，完整地給出一個電路代數的數學模型，這也是布爾代數的一個實際應用，從中感受到數學化的抽象過程，以及數學理論的應用價值

由電路的“并”、“串”聯和“逆反”產生的新電路的狀態｛0，1｝是由原電路的狀態｛0，1｝經過運算+、×和余（0-=1,1-=0）得到的此外，本專題中關于由簡單命題通過“或”、“且”和“非”（“否定”）組成的新命題的真與偽，也是由原命題的真與偽，經過運算+、×和余（（0-=1,1-=0）得到的它們是一脈相承的，這些運算與中學數學所學的數與多項式的運算也有相似之處因此，本專題的學習對學生深入認識數與多項式的本質也是非常有益的

2 典型教學案例及重點、難點教學建議

2.1 布爾代數的引入

布爾代數概念的引入對于初學者是一個難點，《標準》指出：本專題應充分體現從實際問題轉化為數學問題，用數學的方法解決實際問題的過程；體現不同的實際問題經抽象、概括后，可得到相同的數學概念、乃至同一數學理論為此，筆者將教材中的第一章和第四章的內容重新整合，通過開關電路和命題及其真值的邏輯分析，對布爾代數概念的引入進行教學創新設計

案例1 布爾代數的引入——開關電路與命題演算

2.1.1 教學的重點與難點

(1)通過實例，理解開關電路、命題邏輯的概念，并掌握它們的符號表示

(2)基本掌握開關電路圖與數學表達式之間、自然語言與符號語言之間的相互轉換

(3)了解真值表的含義及作用，會求真值表

(4)初步了解開關電路和命題邏輯在結構和規律上的共同點

2.1.2 基本思想分析

在實際生活中，識別一些簡單的電路已成為當代人的一種常識簡單的電路一般是由電源、開關、用電器等組成，開關只有接通和斷開兩種狀態，電燈只有燈亮和燈滅兩種狀態因此，為研究問題的方便，不妨用1和0表示具體問題中的兩種狀態，而不作算術中的數目考慮

在數學中，用來表示數學判斷的語句或者符號的組合稱為數學命題，因此，數學命題也是具有真假意義的語句或者式子既然命題的真假性惟一確定，我們不妨將真命題的值記為1，將假命題的值記為0，1與0都叫做命題的真值在邏輯學中，命題一般用小寫的字母p，q，r，s，……表示，另外，邏輯學中還有5種邏輯符號，分別是“析取符(∨)”、“合取符(∧)”、“否定符()”、“蘊含符(→)”、“等值符()”，把命題用這些符號聯結起來，就構成了不同的復合命題

描述一個數字系統，必須反映一個復雜系統中各開關元件之間的聯系，這種相互聯系反映到數學上就是幾種運算關系邏輯代數中定義了“或”、“與”、“非”三種基本運算

（1）“或”運算

如果決定某一事件是否發生的多個條件中，只要有一個或一個以上條件成立，事件便可發生，則這種因果關系稱之為“或”邏輯

例如，用兩個開關并聯控制一個燈的照明控制電路電路圖及運算表如下圖1所示

圖1

邏輯代數中，“或”邏輯用“或”運算描述其運算符號為“+”，有時也用“∨”表示兩變量“或”運算的關系可表示為F=A+B或者 F=A∨B ，讀作“F等于A或B”

在圖1所示電路中，假定開關斷開用0表示，開關閉合用1表示；燈滅用0表示，燈亮用1表示，則燈F與開關A、B的關系如下表所示 即：A、B中只要有一個為1，則F為1；僅當A、B均為0時，F才為0“或”運算的運算法則：

0 + 0 = 01 + 0 = 1

0 + 1 = 11 + 1 = 1

實現“或”運算關系的邏輯電路稱為“或”門

（2）“與” 運算

如果決定某一事件發生的多個條件必須同時具備，事件才能發生，則這種因果關系稱之為“與”邏輯

在邏輯代數中，“與”邏輯關系用“與”運算描述其運算符號為“·”，有時也用“∧”表示兩變量“與”運算關系可表示為F=A·B 或者 F=A∧B 即：若A、B均為1，則F為1；否則，F為0“與”邏輯關系如圖2中表所示

圖2

圖2所示電路中，兩個開關串聯控制同一個燈顯然，僅當兩個開關均閉合時，燈才能亮，否則，燈滅 假定開關閉合狀態用1表示，斷開狀態用0表示，燈亮用1表示，燈滅用0表示，則電路中燈F和開關A、B之間的關系即上表所示的“與”運算關系 “與”運算的運算法則:

0 · 0 = 01 · 0 = 0

0 · 1 = 01 · 1 = 1

數字系統中，實現“與”運算關系的邏輯電路稱為“與”門

（3）“非” 運算

如果某一事件的發生取決于條件的否定，即事件與事件發生的條件之間構成矛盾，則這種因果關系稱為“非”邏輯

在邏輯代數中，“非”邏輯用“非”運算描述其運算符號為“－”，有時也用“￢”表示“非”運算的邏輯關系可表示為：F= 或者 F=￢A，讀作“F等于A非” 即如圖3所示：若A為0，則F為1；若A為1，則F為0

圖3

“非”運算的運算法則：

數字系統中實現“非”運算功能的邏輯電路稱為“非”門，有時又稱為“反相器”其運算法則為：0-=1,1-=0

2.1.3 教學建議

（1）上面介紹的實際上是預備知識，為引入布爾代數概念作鋪墊用數學方式描述開關電路和命題邏輯，目的為圖4了突出二者之間的聯系，教學時應將開關電路和命題邏輯內容進行比較，通過類比，加深學習者對數學的認識和對本質的理解，了解開關電路和命題邏輯在結構和規律上的相同性

（2）布爾代數的定義通常有兩種形式，即形式公理化定義和有補分配格定義，這兩種定義的方式或抽象或復雜，學生理解上有一定困難為了使學生更易接受布爾代數這個抽象的概念，教學應作相應處理，將學術形態知識轉化成教育形態的知識通過學生已較熟悉的開關電路知識抽象出布爾代數的定義，此時，進一步讓學生思考：實際上接點的串聯和并聯構成了接點的“運算”，而每一個接點接通與斷開的狀態決定了電路的狀態將接點的“運算”與電路狀態聯系起來，并用字母表示出來，就是開關電路的代數化的過程比如，任何一個電路，如圖4所示，可表示一個“代數”式：（（a·b）+（c·d））+a-，當然每一個類似上面這樣由小寫字母（表示開關）經“+”，“·”，“-”，以及適當的符號連接起來的式子也給出一個電路├從知圖4電路的效應，當a=1（開關a處于“通”狀態），b=0，c=1，d=1時電路的狀態是什么，只把這些值代入上面的式子，按照運算的規則進行計算即得，這就是：（（1·0）+（1·1））+1-=（0+1）+0=1+0=1，即此時電路的狀態是“通”顯然，解決這些問題之后，在數學中引入布爾代數的定義就水到渠成了這樣更加符合學生的認知規律，較易為學生所接受然后在理論上再作進一步的提升，指出開關電路和命題邏輯的數學描述都可以看成二元布爾代數，即二元布爾代數就是從開關電路和命題邏輯這兩個系統中抽象出來的數學模型；反之，布爾代數是開關電路和命題邏輯的抽象

（3）高度的抽象性及其帶來的符號化、形式化是數學的基本特征之一教學中通過用數學方式描述開關電路和命題邏輯，讓學生體會不同的實際問題經抽象、概括后，可得到相同的數學概念、運算法則，乃至同一數學理論；反之，同一數學概念、運算法則和數學理論可應用到表面看來完全不同的實際問題中，向學生揭示開關電路和命題邏輯這兩門完全不同的學科在結構和規律上的相同性使學生體會知識之間的有機聯系，感受數學的整體性，進一步理解數學的本質，提高解決問題的能力

2．2 布爾代數

從案例1我們可以看出：如果將電路中燈F的明滅情況看作邏輯“加（+）”（相當于復合命題p∨q的真假情況看作“析取（∨）”）的運算，串聯電路中燈F的明滅情況看作邏輯“乘（·）”（相當于復合命題p∧q的真假情況看作“合取（∧）”）的運算，逆反電路中燈F的明滅情況看作邏輯“非（-）”（相當于復合命題￢p的真假情況看作“非（-）”）的運算，且開關A，B的取值只有1，0兩種情況（相當于命題的真假取值只有1，0兩種情況），將0，1構成的集合記為M，則可引入布爾代數的概念

案例2 布爾代數的概念及其性質

2.2.1 教學的重點與難點

（1）通過開關電路，理解代數系統、二元布爾代數的概念

（2）體會從具體事物中抽象出數學模型的方法，了解二元布爾代數就是從開關電路和命題邏輯這兩個系統中抽象出來的數學模型

（3）了解布爾代數的9組運算律，并能正確應用

（4）布爾代數與普通代數的比較

2.2.2 基本思想分析

（1）概念的理解

設M=｛0，1｝，若在M上定義了“加（+）”、“乘（·）”、“非（-）”三種基本運算，a，b是取值于集合M的任意兩變元，且a，b關于這三種基本運算滿足下表：

aba +ba·ba-

00001

01101

10100

11110

則稱集合M對所定義的運算構成布爾代數，記為｛M=｛0，1｝；+，·，-，｝，0 叫做零元素，1叫做單位元素，叫做a的否定或補元素，a+b叫做a與b的布爾和，a·b叫做a與b的布爾積（為了研究問題的方便，布爾積符號“·”常省略不寫）

如果把字母a，b解釋為開關通與不通的兩種狀態，那么｛M=｛0，1｝；+，·，-，｝稱為布爾代數；如果把字母a，b解釋為命題真與假對應的取值，那么｛M=｛0，1｝；+，·，-，｝稱為命題代數因此，布爾代數是命題代數和開關代數的抽象概括，命題代數和開關代數是布爾代數的兩個具體模型

（2）布爾代數與普通代數的比較

為了今后應用方便，避免差錯，我們應將布爾代數的運算規律與普通代數的運算規律進行對比，比較它們的異同① 常量與常量關系的等式

布爾代數只含有0和1兩個常量布爾代數與普通代數共有的等式：1+0=0+1；1·0=0·1=0；0+0=0；0·0=0；1·1=1. 布爾代數特有的等式1+1=1.

② 變量與常量關系的等式

布爾代數與普通代數共有的等式：

a+0=a；a·1=a；a·0=0.

布爾代數特有的等式：

a+1=a；a+a-=1；aa-=0.

③ 運算定律

布爾代數與普通代數共有的定律：交換律：a+b= b+a；ab=ba

結合律：(a+b)+c=a+（b+c) ；

(ab)c=a(bc)；

乘法對加法的分配律：a(b+c)=ab+ac；

布爾代數特有的運算定律——加法對乘法的分配律：a+bc=(a+b)(a+c)

注意：由布爾代數和普通代數所共有的運算規律推證的公式、法則等，在這兩種代數里都是成立┑謀熱紓(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

④ 布爾代數的一些特有的公式

冪等律：a+a=a;aa=a

吸收律：a+ab=a;a(a+b)=a

二次互補律：a==a

德莫根定律：゛+b=a-b-；゛b=a-+b-

注意：布爾代數里的三種布爾運算都是沒有逆運算的

2.2.3 教學建議

（1）布爾代數是一種特殊的代數系統，與其它的代數系統相比較，布爾代數有滿足自身特點的運算律關于運算律的教學應注意與數系相類比，因為數系提示我們：乘法對加法的分配律是否在布爾代數中也成立，有趣的是，在布爾代數中，不僅a(b+c)=ab+ac成立，并且也有加法對乘法的分配律，a+bc=(a+b)(a+c)成立另外，對于運算律的證明應引導學生既要從數學證明（即驗算），又要將布爾代數與開關電路相聯系，因為物理也會給我們啟示，這些等式在布爾代數中可能是對的，例如，兩個開關a并聯和由一個開關a作成的電路是等效的（即物理證明），這提示我們a+a=a在布爾代數中該是對的，類似地aa=a在布爾代數中也是對的因此，在教學中，教師要注意從具體到抽象，通過易懂的實例，幫助學生理解和掌握基本概念和基本思想在布爾代數的運算及其運算律的教學過程中，注意與學生所熟悉的初等數學中的數與多項式的運算進行比較，二者之間既有相同之處，又有不同之處

（2）本案例適合采用開放式教學，因為布爾代數的運算律可看成是結論開放性的問題，同時，等值初等定理是布爾代數里的一個基本定理，由其推出來的一些重要而常用的公式稱之為等值公式這些公式給我們提供了豐富的開放性探究素材因此，在教學過程中，教師應盡可能設置開放性數學情境，并引導學生由教師所提供的開放性數學情境進行多角度、多層次地思考和提出開放性的數學問題，進而引導學生在問題解決中自主學習、合作交流，進行多解、多問、多變的發散思考，從而獲得各自創造性思維的發展但是，應注意一點，教師在課堂教學活動的全過程中，要十分重視學生的個性發展：學生提出問題與解決問題是有差別的，尤其要關注有價值的問題以及開放性問題的提出和奇異的思考；對差生的積極性更要十分關注努力促使不同的學生在數學上得到不同的發展

（3）教學中應注重滲透數學文化數學本身就是一種文化，數學作為一種文化，已成為人類文明進步的標志在教學過程中，應盡可能結合布爾代數與開關電路的內容，介紹一些對數學發展起重大作用的歷史事件和人物，反映數學在人類社會進步、人類文明建設中的作用，同時也反映社會發展對數學發展的促進作用例如，介紹英國數學家布爾(G. Boole)建立布爾代數的過程，以及美國電器工程師香農(C.E.Shannon)應用布爾代數進行開關電路分析與設計的過程激發學生對數學創新原動力的認識，接受優秀文化的熏陶，從而提高自身的文化素養和創新意識

2.3 布爾函數

前面研究了布爾加、布爾乘、布爾非三種最基本的運算在實際問題中，這三種布爾運算很少單獨出現，而經常是以這些運算構成復雜程度不同的布爾關系式出現這就是布爾函數

案例3 布爾函數

2.3.1 教學的重點與難點

（1）了解布爾函數、布爾表達式的概念，并了解二者之間的對應關系

（2）了解“標準積和范式(主析取范式)”及“標準和積范式(主合取范式)”的概念，體會任何布爾表達式都可以化成標準范式的思想和內涵

（3）開關電路圖與數學表達式，自然語言和符號語言之間的互化

（4）應用運算律對布爾表達式(布爾函數)進行證明、化簡

（5）實際問題的電路設計．將實際問題轉化為數學問題，再應用數學方法解決實際問題

2.3.2 基本思想分析

（1）定義的理解

設a1,a2,a3,…an是布爾代數｛M=｛0，1｝；+，·，-，｝上的n個變元，若對a1,a2,a3,…,an的每一組取值經過有限次布爾運算（+，·，-），都惟一的確定另一個取值于M=｛0，1｝的布爾變量f，f就稱為a1,a2,a3,…,an的布爾函數記為f（a1,a2,a3,…,an）

顯然，a1,a2,a3,…,an，f都在集合M=｛0，1｝上取值例如：f=(a+b)c，f=a-b+ab-等都是布爾函數，事實上，前面講的布爾加、布爾乘、布爾非都是布爾函數

如果a1,a2,a3,…,an表示命題，那么，f（a1,a2,a3,…,an）表示一個復合命題，這里也稱f（a1,a2,a3,…,an）為命題函數；如果a1,a2,a3,…,an表示開關，那么，f（a1,a2,a3,…,an）表示一個布爾電路這里也稱f（a1,a2,a3,…,an）為開關函數

一個布爾函數包含的基本布爾運算，在沒有括號的情況下，先計算布爾非，再計算布爾乘，最后計算布爾加；在有括號的情況下，先計算括號內的式┳

（2）布爾函數的相等

定義：設f（a1,a2,a3,…,an）和g（a1,a2,a3,…,an）為布爾函數，若對于布爾變量ai的每一組取值，對應f和g的值都相同，則稱f和g相等，或者說，f和g等價，記為f=g

每一個布爾函數都有一個真值表，由布爾函數的定義可知：兩個布爾函數相等的充要條件是它們的真值表相同因此，要證明兩個布爾函數相等，只要列出它們的真值表，再比較兩個真值表，便可得出結論在證明過程中，為了減少差錯，有時把必要的中間結果也列出├

例1 已知f(a,b,c)=(゛+b-)c，g(a,b,c)=a-bc,求證：f=g

證明：由變量a,b,c的各種取值得出函數f和g的對應值列表為

顯然，f=g

從命題角度來講，布爾函數f和布爾函數g相等，就是命題f與g等價從開關角度講，布爾函數f和布爾函數g相等，就是f所表示的開關電路與g所表示的開關電路功能相同

（3）布爾函數的完全性

在初等函數里，任意一個初等函數都可以由基本初等函數的四則運算和復合運算得到同樣，在布爾函數里，任一個布爾函數，也可以由它的布爾變量經過最基本的布爾運算而得到可以證明：任意一個具有n個變元的布爾函數f（a1,a2,a3,…,an）都可以由變元a1,a2,a3,…,an經過最基本的布爾運算而得到布爾函數的這種性質，叫做布爾函數的完全性實際上，布爾函數的完全性有以下定理做保證

定理 任意一個具有n個變量的布爾函數f（a1,a2,a3,…,an）都可以由變量a1,a2,a3,…,an經過最基本的布爾運算而得到

由布爾函數的完全性可知，任意一個布爾函數都可以由“或”門、“與”門、“非”門組成的電路來實現它的功能

（4）布爾函數的標準形式

定義1 布爾函數f（a1,a2,a3,…,an）的“積之和”的形式f（a1,a2,a3,…,an）=∑ipi（其中pi=骿a±1j，且a+1j與a-1j在pi中不同時出現，這里a+1j與a-1j互為逆變量）稱作布爾函數f的第一標準形式（也有叫析取標準形式或“與-或”表達式的）pi叫做它的項

注意 在布爾函數的第一種表達式里，ak與゛k不一定是它的項pi的因子，也可能ak與゛k都不是pi的因子利用等值公式，可將任意一個布爾函數化為第一種標準形式

定義2 布爾函數f（a1,a2,a3,…,an）的“和之積”的形式f（a1,a2,a3,…,an）=骾Si

（其中si=∑ja±1j，且a+1j與a-1j在si中不同時出現）, 稱作布爾函數f的第二標準形式（也有叫合取標準形式或“或-與”表達式的）si叫做它的因子

注意：布爾函數的第二種標準形式，ak與゛k不一定是因子si的項，也可能ak與゛k都不是si的項利用等值公式，可將任意一個布爾函數化為第二種標準形式例2 化布爾函數f（a1,a2,a3,…,an）=ab+a-c為第二種標準形式

解 利用反演規則，先求f-；再化f-為第一種標準式；最后求f==f，便是f的第二種標準形式

f-(a,b,c)=゛b+a-c=(a-+b-)(a+c-)

=a-a+a-c-+ab-+b-c-

=a-c-+ab-+b-c-

=a-c-+ab-

f(a,b,c)=f=(a,b,c)=゛b-+a-c-=(a-+b)(a+c).2.3.3 教學建議

（1）為了更好地講解本案例，教學中應注意處理好如下關系：①“操作與理解”——系列

4既不是科普讀物，也不是理論專著應在充分的活動、操作的基礎上，使學生理解專題中的核心概念和基本數學思想比如，講解布爾函數時，我們可以這樣設計：很多實際問題都希望能在某種輸入的情況下有某種輸出，就像三人控制一燈的情形,這往往可抽象成一個n元布爾函數，這里告訴你布爾函數都可用布爾多項式實現，而在以前我們知道布爾多項式都可以由一個開關電路實現，這樣那個實際問題也就可以由一個開關電路來實現，現在你應該能畫出實現三人控制一燈的開關電路了②“基礎與拓展”——從已有的內容出發，引導學生自主探究，做適當的拓展與延伸，在處理問題的思想方法、在思維發展上獲得突破比如，對于例2的處理，把一個布爾函數化為第二種標準形式，也可以不按例2的步驟來求得比如

f(a,b,c)=ab+a-c=(ab+a-)(ab+c)

=(a+a-)(a-+b)(a+c)(b+c)

=(a-+b)(a+c)

所以，把一個布爾函數化為第二種標準形式，要視具體情況而采用較簡便的方法

（2）在本案例教學過程中還應該針對一些問題，組織學生具體實現一些開關電路或邏輯電路，以增強學生應用數學的意識，加深對所學知識的理解與把握教師或教材編寫者可以考慮增加一些選學的內容，比如關于邏輯電路的問題進一步，可以考慮設置專題來介紹或討論一些利用基本邏輯門電路制作的電子元件，比如半加器、全加器與數字表示器等這也就是布爾代數在電子計算機的應用問題┝碩緣繾蛹撲慊進行邏輯設計時，有時設計一個布爾電路，需要判斷它是否是最經濟（所用的材料最少），效果最好的布爾電路對于復雜的布爾電路，這個問題單憑經驗是不能解決的，這就需要借助于布爾代數：第一步，用布爾函數來描述設計的布爾電路；第二步，化簡布爾函數；第三步，畫出與布爾函數最簡式對應的布爾電路，從而得到與設計布爾電路邏輯功能相同的最好的布爾電路

（3）對于本案例的學習，還應提倡對學生進行多元化評價既要重視對學生數學學習過程的評價，又要重視數學基礎知識、基本技能和基本活動經驗的評價另外，還可以結合撰寫論文或寫總結報告的形式進行評價總結報告可以是以下方面的內容：①知識的總結；②拓展；③對本專題的感受、體會、看法具體的選題可以參考教材的“課程總結報告參考題”數學論文或總結報告可以記入學生成長記錄袋，作為反映學生數學學習過程的資料和推薦依據

作者簡介

黃麗生，男，山東師范大學數學教育專業碩士中國管理科學研究院學術委員會特約研究員；山東省初等數學研究會成員主要從事數學教育及競賽數學的研究已在30余家刊物上發表文章200余篇.主編、參編《高中數學必讀》、《名師手把手輔導》等著作10部2004年論文〈新課程背景下數學探究性學習的教學模式初探〉榮獲全國教育科學“十五”規劃重點課題“數學教學效率論”中期成果檢查會暨首屆全國研討會科研成果一等獎2003年參與“十五”規劃教育部基礎教育課程教材改革子項目“校本教研隊伍能力建設”的研究工作，已取得了階段性成果個人學術成果曾在山東曲阜師范大學主辦的《中學數學雜志》（2004，5）“新秀近作”欄目中報道.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文