真實有效的課堂源自充分的“問題診斷”

葉事一　林　威

在教學設計中“問題”診斷這個環節最重要，問題診斷主要表現在：設計者根據自己以往的教學經驗、數學內在的邏輯關系以及思維發展理論，對本內容在教與學中可能遇到的障礙進行預測，并對出現障礙的原因進行分析（不同的學生會出現不同的教學問題，這也是在分析過程中要加以注意的），并在上述分析的基礎上指出教學重、難點實踐證明問題診斷是否充分、到位直接關系到課堂教學的成功與否

1 “問題”診斷讓預設更充分

教學設計中一個不容忽視的問題是使預設性、選擇性、生成性取得和諧與平衡，使課程學習因預設而獲得高效益，因選擇性和生成性而充滿創造力是否對可能發生的情況進行多種預測并設計備用方案，在教學過程中，當數學思維與預設方案不同時，教師要因勢利導，而不是生硬地阻斷學生的思維這時可能是冒險的：如果預設不充分，學生的回答不著邊際，老師的基本功不扎實或課堂的機智不夠，會造成課堂的混亂；也有可能使課堂出現“精彩不曾預約”的理想效果

1.1 概念的“解構”是否到位？

當前教學中出現的許多問題都與教師自己的數學理解不到位有很大關系，有些老師自己不能準確把握教學內容，對于哪些是重點、核心心中無數，以致教學中出現“眉毛胡子一把抓”，數學核心概念和思想方法得不到應有重視，而細枝末節的東西卻讓學生反復訓練；也有的老師以自己所教班級學生好為借口，“深挖洞，廣拓展”，無限地擴張內容、拔高要求殊不知這樣的教學不但不能達到使學生深刻理解數學的效果，反而還會因為過分追究細枝末節而擾亂了學生的思路，陷于具體細節不能自拔，最終干擾了學生的數學理解

典型案例1：一位老師在教學“雙曲線及其標準方程”時，在雙曲線的定義上舍得花時間，從雙曲線的產生過程中細致地探究它所滿足的幾何條件；用圖形語言、日常語言、數學符號語言表述定義等一節課中用三分之二的時間學習定義，由于定義認識深刻、全面，再加上很好地利用了橢圓的學習經驗，使學生在后續知識的學習中輕松自如， 取得了很好的教學效果

典型案例2：2007浙江省優質課評比**老師（省一等獎，課題：《2.1.1合情推理》）從一個問卷調查（某課題組為了解本市的高中生數學學習狀態,對四所學校做了一個問卷調查）再結合圖片、生活實例等詳細的將歸納推理的兩個特征很好地解構到位，潤物細無聲，知識化無痕，效果非常好

典型案例3：2007溫州市高一新課程培訓會上一位老師執教《等差數列》時，花了十幾分鐘時間在數列后一項與前一項的差是一個定值上做許多無謂的糾纏，弄的學生一頭霧水，對概念的解構很不到位，也體現了老師駕馭課堂的能力不強

典型案例4：2007浙江省優質課評比**老師

拋磚引玉x3+3x-1=0

（1）此方程是否有解？（2）能求出它的解嗎？

一元三次方程的求根公式：方程a3x3+a2x2+a1x+a0=0(a3≠0)

（2）能求出它的解嗎？

（2）能求其近似解嗎？

點評 首先一元三次方程的求根公式是不做要求的，其次張未華老師試圖讓學生知道用公式不可取，知難而退求近似解，從而引出我們重點要研究的方程近似解這個課題筆者認為對概念的外延作深入的分析的“解構”值得商榷（這樣會分散學生的注意力，不利于二分法思想的理解和掌握）

典型案例5：2007浙江省優質課評比**老師（省一等獎，課題：《2.1.1合情推理》），他將合情推理的歸納推理和演繹推理在一個課時中都講解，筆者認為這樣會使得學生對兩個概念理解不到位

結論：對概念的“解構”和概念核心的確定、內容所反映的思想方法的確定等，是影響教學設計和課堂教學的“瓶頸”當然，在此基礎上，選擇怎樣的載體（教學內容）、通過怎樣的過程落實概念的核心和思想方法，也是需要深入思考的所以，在今后的研究中，首先要把概念的“解構”和概念核心的確定、內容所反映的思想方法的確定等作為重點；其次，在搞好教學設計和研究課的基礎上，針對核心概念和思想方法的教學，開展深入的反思活動并提出改進措施，不斷提高教學設計的能力，也是我們的重點

1.2 學生的行動有否精細的設計？

認知學習理論告訴我們，數學學習過程乃是新的學習內容與原有的數學認知結構相互作用，形成新的數學認知結構的過程隨著課程改革的深入，數學教學越來越關注學生的獨立思考、自主探究，強調使學生經歷完整的學習過程，讓學生通過自己的觀察、試驗、操作、推理、交流等獲得對數學的理解，并能用數學解決各種問題課堂中與同學的合作和交流受到了普遍的歡迎，一些公開課、示范課也必須要同學們在老師的指導下“討論討論”事實上，課堂中的合作交流客觀上受到時間、課堂氛圍、小組成員間的興趣差異等因素的限制通過各種案例的分析，我們應該對課堂中的合作交流采取更加審慎的態度，因此我們應該對學生的課堂行動有精細的設計：交流些什么？交流的點在哪里？哪些時間交給學生？等等

1.3 “問題”診斷要對可能遇到的障礙進行充分的分析

“問題”診斷的重點是對本內容在教與學中可能遇到的障礙進行預測，并對出現障礙的原因進行分析，這個工作只有越充分和到位才能使課堂教學越成功成功的案例有：

典型案例6：《用二分法求方程的近似解》可能遇到的障礙是：怎樣找到那個區間，算到什么時候結束，這個思想的本質是什么等等

典型案例7：§2．2《離散型隨機變量》可能遇到的障礙是：（1）學生對于為什么要引入離散型隨機變量會產生困惑，其原因是學習者對新概念的陌生感和必要性的探究欲望是人的認知規律決定的，而隨機變量和離散型隨機變量又是中學階段少見的概率理論中一個實際應用型概念（2）在探究隨機變量與隨機試驗結果如何對應？這種對應的本質是什么等問題時會出現障礙，原因在于一些隨機試驗本身還不是純數學化的，需要學生具有較強的數學應用意識和數學轉化思想，而現階段的學生還不具備能很好地將隨機試驗結果對應成數，缺乏對映射本質的理解（3）學習過程中如何恰當地定義隨機變量？定義好的隨機變量能刻畫所有的試驗結果嗎？離散型隨機變量與非離散型隨機變量的不同在哪？都會是學生感到困難的地方，其原因仍然在隨機變量概念的抽象性和部分學生轉化能力的不足等方┟妾

2 “問題”診斷使重難點解析更到位

目前我們教學有這樣的通病：沒有把教學重點放在概念的概括、辨析和如何用概念進行判斷上，在細枝末節、操作程序上追究過多、用時太長；普遍存在的問題是：概念、原理的概括過程中，例子太少，往往只對1~2個例子分析后就進行概括，學生獨立分析、思考時間不夠，支撐抽象概念的具體事例不足，導致概念理解不到位

我們強調對教學“難點”的分析，既要說清難點所在，又要說清難點產生的原因，以及突破難點的預設方案，并且最好要有針對不同原因的多套方案

2.1 要有突破難點的好方法

典型案例8：2007浙江省優質課評比**老師（省一等獎，《用二分法求方程的近似解》）：

探究:函數f(x)=玪n玿+2x-6的零點方程玪n玿+2x-6=0的根

(1)你能找出零點落在下列哪個區間嗎？

A（1，2） B（2，3） C（3，4） D（4，5）

(2)你能繼續縮小零點所在的區間嗎？

點評：從特殊到一般，逐步縮小范圍，引發學生探究的欲望

2.2 對教材的合理思考

新教材是許多專家用幾年的時間精心創作出來的，我們要充分尊重和理解教材，不可隨意的拔高和拓展 典型案例9：2007浙江省優質課評比**老師（省二等獎，課題：《2.1.1合情推理》）

例2 如圖，已知點O在線段A1B上，|BO|=12|A1O|=1，C1為線段A1B外一點，且A1C1⊥A1B,過O作直線l⊥A1O,

連接BC1交l于D1，過D1作D1C2∥A1O交OC1于C2，過C2作C2A2⊥A1O于A2，

連接BC2交l于D2，過D2作D2C3∥A1O交OC1于C3，過C3作C3A3⊥A1O于A3，

一直繼續下去，可以得到一系列的點A璶設﹟OA璶|=a璶,則a璶=

作者的意圖是想和例1前后呼應，用幾何方法解釋代數式，可謂用心良苦，是下了一番工夫的可是在此處卻成了敗筆：題目表述長，學生理解有點難度

（作者的例1.已知數列{a璶} 第一項a1=2，且a﹏+1=a璶1+a璶（n=1 , 2 , …),試歸納出這個數列的通項公式.）

課堂實際情況：由于最后只剩下8分鐘，講解太匆忙了，學生的反應沒有預想的好，雙方的交流不到位，可見課前問題的診斷不到位

典型案例10：2007浙江省優質課評比**老師（省一等獎，課題：《2.1.1合情推理》）：

例2

根據上圖點的排列規則，猜想第 (5) 個圖形由多少個點組成，是怎樣排列的？第 n 個圖形中共有多少個點？

如圖所示的一系列正方形將點陣分割成奇數序列，其模式如下：

由上述具體事實能得出怎樣的結論？

如右上圖所示的一系列正方形將點陣分割，從內向外擴展，你能發現什么結論嗎？

點評 同樣是對教材的拓展，該老師的設計降低了難度，提高了題目的新穎性，大大激發學生解題的欲望，且符合歸納推理的思想本質，是本節課的亮點

3 “問題”診斷讓新課程的理念演繹得更精彩、課堂更有效

新課程理念已深入人心，絕大多數教師能以學生發展為本，努力改進學生學習數學的方式方法，并能結合內容進行選擇，使教學方法具有針對性和靈活性，注意啟發、引導學生，綜合應用類比推理、歸納推理和演繹推理等發現和猜想一些數學結論，同時又重視基礎知識的落實，在提高學生數學能力、創新意識和理性精神等方面狠下功夫

3.1 創設有效的教學情境的診斷

怎樣的情境才是教學情境？目前強調“生活情境”，人為制造情境，特別是與當前學習任務沒有太大關系的情境較多我們提倡基于情境的學習，認為在實際背景中學習有利于了解知識的來龍去脈，有利于知識的遷移而為了真正達到這樣的目的，教師選擇的情境必須能引起學生的興趣，必須能調動學生學習的熱情，必須能使學生參與復雜的、現實的、以問題為中心的活動，必須支持學生獲得他們想要的知識，有利于學生發展深層次的思維活動另外切不可唯情境至上，不是所有的概念都必須通過真實的背景來學習，應該保留傳統當中很多合理的成分

典型案例11：2006全國數學優質課評比中**老師在講授《橢圓的標準方程》用“神舟五號”的太空飛行圖，而且問學生“飛行路線是什么？”

點評：這個情境不好，問題也不好回答，“飛行軌跡是橢圓”是教師自己加上去的如果學生反問“為什么軌跡是橢 圓？”教師該如何回答？還是要用與當前學習任務相關的、反映當前學習內容本質的情境，這里要用有橢圓軌跡的幾何要素的問題較┖錨

典型案例12：2007溫州市高中數學新課程“樣本校”活動中的一堂高中數學新課程“樣本課”——《§1.5函數y=A玸in(ωx+)的圖象（2）》在教學設計的過程中進行了三次教學設計

第一次：以物理的實際背景引入，強調物理意義

問題情境：彈簧掛著小球作上下振動（即簡諧運動），它在第x秒時，相對于平衡位置（原點O）的位移y（玞m)由下面函數關系式確定：y=A玸in(ωx+),(A>0,ω>0),x∈［0,+∞)如果小球振動時，位移y隨時間x滿足：y=玸in(2x+π3）,x∈［0,+∞)（1）指出A，ω及跡徊⑺得魎們的物理意義；（2）該函數圖象可由y=玸in玿圖象怎樣變化而來？

第二次：在物理背景下創設圖象關系的問題情境

問題情境：彈簧掛著小球作上下振動（即簡諧運動），它在第x秒時，相對于平衡位置（原點O）的位移y（玞m)由下面函數關系式確定：y=A玸in(ωx+),(A>0,ω>0),x∈［0,+∞)它的圖象與y=玸in玿的圖象有何關系？又如何從已知圖象求它的解析式呢？

第三次：復舊引新，在學生的“最近發展區”提出問題

問題提出：昨天我們共同學習了A、ω、級院數y=A玸in(ωx+)(A>0,ω>0)圖象的影響今天，讓我們繼續用數學的熱情進一步演繹昨天的故┦陋

師：函數y=玸in(2x+π3)的圖象可由y=玸in玿的圖象怎樣變化而來？

課堂實際情況：第三個方案得到與會老師的一致肯定，而其他老師創設的教學情景反而有去數學化的危險

典型案例13：2007浙江省數學優質課**老師（省一等獎）設計“游戲互動”的環節，通過猜年代、猜元素、猜名字、猜顏色、猜圖案等生活中生動的實例緊扣本節課的主題——合情推理

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾提出了水平數學化（將日常真實情境數學化）和垂直數學化（將數學內容在形式化數學范疇中數學化）思想，認為數學應該被看待為人類的一種活動因此，數學教育的目標應該是讓學生經歷問題情境的整個數學化過程，學生體驗到的情境也必須是具有真實感覺的，由始至終學生所經驗到的皆是真實性學習相信經過有意識地將課堂教學生活化，培養學生數學應用意識，必將使得數學的教與學成為一種有生命的動感交┝鳘

3.2 強化有效提問的診斷

構建恰時恰點的問題（系列）是有效教學的基本線索，“問題引導學習”應當成為教學的一條基本原則，有了恰時恰點適度的問題，學生有效的獨立思考、 自主探究、合作交流才能有平臺這就要深入研究如何提問的問題問題要反映當前學習內容的本質——有意義；提問的關鍵是要把握好“度”，使學生處于“跳一跳摘果子”的狀態，問題要達到“道而弗牽，強而弗抑，開而弗達”的境界具體的，可以從數學知識發生發展的關節點上、數學思想方法的概括點上、學生數學思維的癥結點上等提出問題

采用“教學設計——教學實踐——教學反思——改進教學設計——再教學實踐”的實踐活動，特別要重視問題診斷的重要性，真正有效地提高課堂教學的有效性

參考文獻

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文