圓的斜二測畫法的直觀圖是何種橢圓？

李錦昱

引例 已知平面上的正△ABC的邊長為2，則在斜二測畫法下的直觀圖△A′B′C的面積為______.

在某刊物上看到一篇關于斜二測畫法的文章，里面的一道例題構思巧妙，并且和上面的引例可以類比，只是感覺敘述和結論都有些不妥，先抄錄原例題如下：

例 在平面直角坐標系xOy中用斜二測畫法作出圓O：x²+y²=1的直觀圖是橢圓O′，試寫出畫法并求出所得橢圓的方程.

仔細研究上面的解答，會產生如下疑問：

①水平放置的圓在斜二測畫法下的直觀圖是標準形式的橢圓嗎？

②圓在斜二測畫法下的直觀圖的方程該如何求？

先來看疑問①：上面的畫法，來自于文[1]例2(用斜二測畫法畫水平放置的圓的直觀圖），不同之處僅僅是將圓的半徑具體到1.從所畫圖形中可以看到，橢圓的短軸的頂點顯然不是由圓上的直徑端點C,D變化得到的，但由斜二測畫法的規則可以知道，橢圓的最高(低）點必定是由圓的最高(低）點變化過來的！換句話說，橢圓的短軸一定是由圓的直徑CD變化得到的，也就是說，在斜二測畫法下，原來圖形中相互垂直的兩條直徑AB,CD變成了直觀圖中橢圓的長軸與短軸(仍保持垂直），這顯然是矛盾的！這一點，從所畫出的直觀圖中D′,F′,H′的位置關系上也能明顯看出不合理之處.

從上面的分析看，例題中直接給出“用斜二測畫法作出圓O：x²+y²=1的直觀圖是橢圓O′作為已知條件是不太妥當的！

需要指出的是，文[2]已經將文[1]例2刪去，改成“生活經驗告訴我們，水平放置的圓看起來非常像橢圓.在實際畫水平放置的圓的直觀圖時，我們常用如圖1.2-11所示的橢圓模板.”而且，在橢圓模板上方和下方各給出一個注解：“立體幾何中，常用正等測畫法畫水平放置的圓.”“畫幾何體的直觀圖時，如果不作嚴格要求，圖形尺寸可以適當選取.用斜二測畫法畫圖的角度也可以自定，但要求圖形具有一定的立體感.”這兩個注解較好地彌補了原來教材處理中存在的問題.這樣，文[2]例3畫法第(2）步中“選擇橢圓模板中適當的橢圓過A、B兩點，使它為圓柱的下底面”就巧妙訂正了文[1]例4畫法第(2）步中“仿照例2畫法，畫出底面”這一明顯的不足.

文[3]指出，“在立體幾何中，通常用正等測畫法畫圓的直觀圖，圓的直觀圖是橢圓.由于畫圓的直觀圖比較復雜，在實際畫圓的直觀圖時，通常使用不同尺寸的橢圓模板.”并給出一個注解：“正等測畫法的依據仍是平行投影的性質.不過，這時投射線和人的視線平行，并且投射線與投射面垂直.”“會畫圓的直觀圖，就能畫出圓柱、圓錐的直觀圖.”教材的這種編寫方式，既強調了旋轉體與普通多面體直觀圖畫法的不同，又介紹了正等測畫法的知識，給學生進一步探究留下了很大的空間.

還需要指出的是，文[4]在講解了斜二測畫法的規則后，緊跟著給出“圓柱、圓錐和圓臺的底面都是圓面，水平放置的圓的直觀圖應該畫成橢圓(圖1-1-31）”，盡管教材已經對圖1-1-31的橢圓進行了適當的旋轉處理，感覺若能講得更清楚些才更好！

相比較而言，文[5]在處理水平放置的圓的直觀圖時，先畫出了圓內接正n邊形的直觀圖，當n非常大時，平滑連接各頂點，可以近似得到圓的直觀圖.教材這樣編寫，一方面鞏固了斜二測畫法，另一方面也讓學生體會到數學中常用的無限逼近(有限與無限）思想，不失為一種不錯的處理方法.唯一不足之處是，這種近似處理的直觀圖與正等測畫法的直觀圖在視覺上存在較大差異(前者畫出的圖形繞中心有小角度的旋轉），且圓內接正n邊形的直觀圖的一些頂點不在圓的直觀圖上(教材圖示如此)，這需要在今后修訂時加以改進.

綜合上面分析，可知圓在斜二測畫法下的直觀圖是橢圓，但不是我們習慣的標準方程的形式，且直觀圖的方程學生不容易求出(感覺似乎已經超出了學生學習范圍）.涉及旋轉體的直觀圖，尤其涉及到底面圓的直觀圖是橢圓，一定要講清楚應利用正等測畫法，以免誤導廣大師生，混淆了兩種畫法的區別.

參考文獻

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