高考新動向——“動態”立體幾何試題

張偉志　張海娟

題目 (2008年山東理科卷第20題）

圖1如圖1，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC，PC的中點.

(Ⅰ)證明：AE⊥PD；

(Ⅱ）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為62，求二面角E-AF-C的余弦值.

1 解法研究

第(Ⅰ)小題證法比較簡單，以下對第(Ⅱ）小題解法進行研究.(Ⅱ)分析和略解 設AB=2，H為PD上任意一點，連接AH、EH.由(Ⅰ）知：AE⊥平面PAD，則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.在Rt△EAH中，AE=3，所以當AH最短時，∠EHA最大，即當AH⊥PD時，∠EHA最大.此時tan∠EHA=AEAH=3AH=62,因此AH=2.又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2.

圖2因為PA⊥平面ABCD，PA計矯鍼AC，所以平面PAC⊥平面ABCD.

過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC.

過O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角.

在Rt△ESO中，不難求出cos∠ESO=155.

即所求二面角的余弦值為155.

2 本質提示

由AE⊥平面PAD，則∠EHA為EH與平面PAD所成的角，在Rt△EAH中，tan∠EHA=AEAH,AE的長度不變，當AH最短時，tan∠EHA最大，∠EHA最大.

在△APD中，H在線段PD上運動時，當AH⊥PD時，AH的長度最小，從而∠EHA最大.這樣，就將三維立體問題轉化為二維平面幾何問題，使之得以簡化.

圖3這一類“動態”立體幾何題在近幾年的高考中經常出現，題目中除了固定不變的線線、線面、面面關系外，滲透了一些“動態”的點、線、面元素，給靜態的立體幾何題賦予了活力，題意更新穎，更靈活，加強了對學生空間想象能力的考查.除了以上這種轉化方法之外，還可以運用待定系數法、引入參數或目標函數、變動為靜等策略來解決此類問題.

3 引申和推廣

圖4例1 如圖4，已知直線m⊥平面α,垂足為O，P∈α,且P不同于O，直線n為平面α內過P但不過O的直線，長度為a的線段AB在直線m上滑動，直線n可繞點P在平面α內轉動，同時長度為b的線段CD在n上滑動，且|PO|=c,求三棱錐A-BCD體積的最大值.

分析和略解 本題可采用割……