不等式中等號成立條件的解題功能

王文清

大家都知道，基本不等式中的等號，當(dāng)且僅當(dāng)諸數(shù)都相等時成立.事實上，我們遇到的要證明的絕大多數(shù)不等式的條件與結(jié)論都是關(guān)于所含字母的輪換對稱式，這就預(yù)示著這些字母在解題中的地位是相同的，因此，當(dāng)他們?nèi)≈迪嗤瑫r，等號可能成立.于是，可以先猜測并驗證要證明的不等式中等號成立的條件，然后，結(jié)合已知，通過拆添項、配湊等手段構(gòu)造一系列基本不等式，最后通過同向不等式的運算給出證明.下面舉例說明.

利用對稱思想解決例7，用時不會超過60秒，運算量小得都沒有出錯的機會．

綜上所述，當(dāng)題設(shè)條件和研究結(jié)論的形式都是關(guān)于題設(shè)全部元素對稱的時候，就沒有理由認(rèn)為某個元素比其它的大或小，它們對結(jié)論的貢獻(xiàn)是相同的，因而地位平等，誰也無特權(quán)，故諸元素均相等時，結(jié)論不等式中的等號成立(如，例1～例5）．

這種“一視同仁”地、“公正”地看待某些對象的“非充分理由”原理，用來監(jiān)控對稱問題的結(jié)論是很有效的，即條件和研究對象的形式是對稱的，結(jié)論也應(yīng)該符合對稱要求，否則可判斷結(jié)論或者不完整，或者根本就是錯誤的.對稱思想告訴我們：“沒有充分理由區(qū)別的，可能是不必區(qū)別的.”

當(dāng)題設(shè)條件或研究結(jié)論至少有一個不具有對稱性時，盡力把題設(shè)條件和研究結(jié)論同時化歸為具有對稱性，也是解決這類問題的一個策略(如例6、例7）.

龐卡萊指出“在解題中、在證明中，給我們美感的東西是什么呢?是各……