一道“費爾馬點”姊妹題的探究

費爾馬點——就是在三角形內或邊界上到三角形的三個頂點的距離之和最小的點.

其結論是：若三角形頂角不超過120°，則“費爾馬點”就是對各邊的張角都是120°的點.若三角形一個頂角等于或大于120°，則“費爾馬點”就是最大的內角的頂點.

下面給出一道“費爾馬點”的姊妹題：

是非明點——就是在三角形內或邊界上到三角形三邊距離之和最小(大）的點.

對“是非明點”的求解，現作如下探究：

不失一般性，假設A、B均為銳角，AB=c，以A點為原點，直線AB為x軸，建立平面直角坐標系，如圖1所示.設P(x,y)為△ABC內或邊界上的一動點.

由圖象2可以看出，在斜率為0的平行直線族中，當經過頂點C點時，U取得最小值，當與線段AB重合時，U取得最大值.

其幾何意義為：當△ABC是頂角大于底角的等腰三角形時，使U取得最小值的“是非明點”P是三角形頂角的頂點；使U取得最大值的“是非明點”P是三角形底邊上的任意點.

(3）若A=B>C,即△ABC為頂角小于底角的等腰三角形時，此時A=B>π3,因此-(2cosB-1)>0.U(x,y)=-(2cosB-1)·y+c·sinB

由圖象3可以看出，在斜率為0的平行直線族中，當經過頂點C點時U取得最大值，當與線段AB重合時U取得最小值.

其幾何意義為：當△ABC是頂角小于底角的等腰三角形時，使U取得最小值的“是非明點”P是三角形底邊上的任意點；使U取得最大值的“是非明點”P是三角形頂角的頂點.

下面再對A≠B時分兩類情況討論求解：

由圖象5可以看出，在斜率為k璘的平行直線族中，當經過可行域上的點C時，U取得最小值；當經過可行域上的點B時，U取得最大值.

其幾何意義為：當△ABC是銳角三角形時，使U取得最小值的“是非明點”P是△ABC的最大角的頂點；……