導函數和原函數在對稱性上的聯系

支　軍

首先，我們來探究，原函數對稱時，導函數的對稱性如何？

若函數f(x)關于x=a對稱且可導，則f(x)=f(2a-x).

根據復合函數導數的性質易得：

f ′(x)=-f ′(2a-x)，所以導函數f ′(x)關于點(a,0)對稱.

同理可得：若函數f(x)關于點(h,k)對稱且可導，則導函數f ′(x)關于直線x=h對稱.

因此，我們得到如下結論：

定理1 若函數f(x)關于x=a對稱且可導，則導函數f ′(x)關于點(a,0)對稱.若函數f(x)關于點(h,k)對稱且可導，則導函數f ′(x)關于直線x=h對稱.

推論 若函數f(x)為偶函數且可導，則導函數f ′(x)為奇函數；若函數f(x)為奇函數且可導，則導函數f ′(x)為偶函數.

下面我們來探究導函數對稱時，原函數的對稱性如何.

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”