找準全等三角形對應元素的訣竅

作者簡介：史永軍，男，中學高級教師，現在萊西市教體局普教教研室任初中數學教研員．2003年被教育部北京師范大學基礎教育課程研究中心聘為新世紀版數學實驗指導委員會委員．曾被評為青島市初中數學教學能手、青島市青年教師優秀專業人才、萊西市優秀教師、萊西市十佳青年教學能手、萊西市優秀共產黨員．先后有十多篇教育教學論文在國家級或省級刊物上發表或獲獎,輔導過的三十多名學生在全國、山東省、青島市等競賽中獲獎．

全等三角形是平面幾何的重要內容，它為初中幾何解決線段和角的相等的問題提供了重要工具，也為后面的學習奠定了必要的基礎．要學好全等三角形，必須學會找準全等三角形的對應元素（對應邊、對應角）的方法．本文談幾點意見，供同學們學習時參考．

[問題與情境]

同學們，你們都見過大風車吧！“大風車轉起來，各地的朋友來相會．”現在請你仔細地觀察圖1中這個大風車，看看它是由哪些圖形組成的，這些圖形有什么特點．很顯然，它是由4個三角形組成的，這4個三角形是全等的.

生活中，我們可以發現很多圖案是由全等三角形組成的（如圖 2）.

[開眼界]

魔術師的地毯

一個魔術師拿著一塊邊長為 8 m 的正方形地毯找一個地毯匠，要他把地毯改成長為 13 m、寬為 5 m 的長方形地毯．地毯匠算了算，面積由 64 m2 改成 65 m2，認為這是不可能的事情，可是魔術師卻說：“你按我的辦法剪裁，保證沒有問題．”魔術師拿出一張圖給地毯匠看．按圖 3 中粗線裁剪后，得到兩個全等的直角梯形和兩個全等的直角三角形，然后按照圖 4 就可以拼成一個（5 × 13） m2長方形．地毯匠橫看豎看，始終看不出破綻，但又不敢下剪刀，聰明的同學們，你們明白究竟是怎么回事嗎？

提示：如果你仔細地畫一個大一點的圖出來，就會發現在 5 × 13 的長方形中，中間接縫是有空隙的，這個空隙的面積恰好是 1 平方單位.

[經典例析]

例1 如圖 5，△AOC△BOD，∠A和∠B是對應角，AO和BO是對應邊，請寫出其他的對應角、對應邊.

分析：找全等三角形的對應元素（對應角，對應邊），應按照如下規律．

（1） 根據已知的對應元素來找．

① 已知對應頂點，以對應頂點為頂點的角是對應角，以對應頂點為端點的邊是對應邊；② 已知對應角，對應角的對邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；③ 已知對應邊，對應邊的對角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角．

（2） 根據兩個全等三角形的位置來找．

① 有公共邊的，公共邊一定是對應邊；② 有公共角的，公共角一定是對應角；③ 有對頂角的，對頂角一定是對應角．

（3） 根據大小來找．

① 一對最長的邊是對應邊，一對最短的邊是對應邊；② 一對最大的角是對應角，一對最小的角是對應角．

（4） 根據兩個全等三角形的位置關系，分析其中一個是由另一個經過哪種全等變換（平移、旋轉、翻折）形成的，從而找出對應關系.

① 翻折法：一個三角形沿某條直線翻折與另一個三角形重合，從而發現對應元素；② 旋轉法：三角形繞某一點旋轉一定角度能與另一三角形重合，從而發現對應元素；③ 平移法：沿某一方向平移使兩三角形重合來找對應元素．

點撥：因為△AOC △BOD，所以，將△AOC繞點O旋轉180°后，能與△BOD完全重合，不難找到其對應元素.

解：∠C和∠D、∠COA和∠DOB是對應角.AC和BD、CO和DO是對應邊.

此題同學們容易出現的錯誤是認為∠C與∠B是對應角，∠A與∠D是對應角.

例2 如圖 6，△ADE△CBF，AD =CB.求證：AE∥CF.

點撥：欲證明AE∥CF，只需證明∠AED = ∠CFB，∠AED = ∠CFB可由△ADE△CBF推出.根據已知條件，只需將△ADE向右平移BD長，便可使△ADE與△CBF完全重合.

證明：△ADE△CBF → ∠AED = ∠CFB → AE∥CF.

有的同學通過∠A = ∠C，證得AE∥CF，你認為對嗎？事實上，雖然能證出∠A = ∠C，但∠A與∠C既不是同位角，也不是內錯角，因而得不到AE∥CF.

例3 如圖 7，已知△ABC△BAD，點A、C的對應頂點分別為點B、D.如果AB ＝ 7 cm，BC ＝ 5 cm，AC ＝ 10 cm，那么BD等于（）.

A. 10 cmB. 7 cmC. 5 cmD. 無法確定

點撥：本題的解答關鍵是正確找出BD的對應邊.可將△BAD向右翻折，與△ABC重合，便可得到BD的對應邊是AC.

解：選 A.

本題的已知條件AB ＝7 cm、BC ＝ 5 cm看似多余，其實旨在考查同學們能否正確找出BD的對應邊，具有一定的迷惑性.

例4 如圖 8，已知△ABC△CDA，AB與CD平行嗎？

點撥：本題結論未定，屬于探索性命題，需要進行探究.只需將△ABC繞AC的中點O旋轉180°，便可得到∠BAC與∠ACD重合.

解：AB與CD平行.△ABC△CDA → ∠BAC = ∠ACD → AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行）.

解答探索性命題時，不要先猜出一個結論，再去推理論證，應從已知條件入手進行推理論證，得到結論.

[即學即練]

1. 如圖 9，△ABD△CDB，且AB、CD是對應邊，下面4個結論中不正確的是（）.

A. △ABD和△CDB的面積相等

B. △ABD和△CDB的周長相等

C. ∠A + ∠ABD = ∠C + ∠CBD

D. AD∥BC且AD = BC

2. 如圖10，矩形ABCD沿AM折疊,使D點落在BC上的N點處,如果AD = 7 cm，DM = 5 cm，∠DAM = 39°,則AN = cm，NM = cm，∠NAB = .

3. 如圖11，△ABC△DEF，∠A = 50°，∠B = 35°，ED = 8，則∠F = ，AB =.

4. 如圖12，已知△ABC△EFC，且CF = 5 cm，∠EFC = 65°，則∠B = ，BC = ．

5. 如圖13，把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCED內部時，則∠A與∠1 + ∠2之間有一種數量關系始終保持不變，你發現這個規律是（）．

A. ∠A = ∠1+∠2

B. 2∠A = ∠1 + ∠2

C. 3∠A = 2∠1+∠2

D. 3∠A = 2（∠1+∠2）

6． 如圖 14，將一張長方形紙片按圖示的方式折疊，BC、BD為折痕，則∠CBD的度數為（）．

A． 60° B． 75° C． 90° D．95°

7． 如圖15，△ABC△A1B1C，且∠A∶∠ABC∶∠ACB = 1∶3∶5，則∠A1CB1與∠ABC的比等于（）．

A．3∶1 B．5∶1 C．5∶3 D．5∶2

8. 如圖 16，把△ABP 繞A點逆時針旋轉60°得到△ACE．問：△ABP與△ACE是什么關系？若∠BAP ＝ 40°，∠B ＝ 30°，求∠CAE、∠E和∠BAE的度數.

9. 已知：如圖17，△ABC△ADE，BC的延長線交DA于F，交DE于G，∠ACB = 105°，∠CAD ＝ 10°，∠D = 25°．求∠EAC、∠DFB、∠DGB的度數．

[中考風向標]

1. （2006年·廣東）如圖 18，若△OAD△OBC，且∠O = 65°，∠C = 20°，則∠OAD = ．

解析：全等三角形的對應角相等，根據該性質可得∠OAD = ∠OBC.借助三角形的內角和可求得∠OBC的度數.因為△OAD△OBC，所以∠OAD = ∠OBC.由∠O = 65°，∠C = 20°，可得∠OBC = 180° - 65° - 20° = 95°. 所以∠OAD = 95°.

2. （2006年·濟南市）如圖 19，一張長方形紙片沿AB對折，以AB的中點O為頂點，將平角五等分，并沿五等分線折疊，再從點C處剪開，使展形后的圖形為正五邊形，則剪開線與OC的夾角∠OCD為（）.

A. 126°B. 108°C. 90°D.72°

解析：此題初看很難，俗話說，實踐出真知，我們不妨動手試一試，把正五邊形按折痕折疊后進行對比即可找出展開圖中是那個位置的角.選 C.

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