直角三角形全等面面觀

作者簡介：王東升，男，省、市級骨干教師，現任遼寧省阜新市教師進修學院初中部數學教研員，刊發文章10余篇（在《數學教師》、《山西中學數學》、《中國數學教育》等期刊上），對習題的變式有較深入的研究. 創辦有阜新數學資源網（www.fxsx123.com）.

[問題與情境]

（1） 如圖1，有兩架等長梯子，利用它來攀登某建筑物，如果梯子的著地點距離墻是等遠的，那么，請你判斷：兩架梯子所攀登的最高點是否相同？為什么？讓我們來認識其中的道理吧！

（2） 上面的問題轉化為數學問題即為：在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，∠C = ∠F = 90°，是否有AC = DF 呢？如圖 2．

（3） 同學們一定感覺到這是有關三角形全等的問題，那么，圖 2 中這兩個三角形全等嗎？條件較少（兩邊、一直角，可怕的“邊邊角”）．用我們探索三角形全等的方法來研究一下吧！

（4） 比如，給定AB = DE = 5 cm，BC = EF = 3 cm，分別畫出直角三角形ABC和直角三角形DEF，將兩個三角形疊合，你發現了什么？如果方便，你可以在電腦上多作一些不同大小的三角形，來驗證你的猜想．快把你的猜想總結出來吧！

（斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）

（5） 我們不妨把直角三角形的全等判定方法“盤點”一下，你能夠用幾種方法說明直角三角形全等？（有“邊邊邊”、“角邊角”、“角角邊”、“邊角邊”和“斜邊、直角邊”）

[開眼界]

也許有些同學會想到：“斜邊、直角邊”有點象“邊邊角”的組合，而從前面我們探索三角形全等條件時是沒有這種條件的，這不是前后矛盾嗎？這并不矛盾．我們知道，“邊邊角”之所以不能判定一般的三角形全等，是因為“條件不足以確定三角形的形狀”（如圖3），如果可以確定三角形的形狀（同是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形），那么，滿足“邊邊角”條件的三角形也是可以說明其全等的．

如圖4，在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，∠ACB = ∠DFE = 110°，則有△ABC△DEF，這時，再也畫不出反例的圖形了，略證如下：作BG⊥AC交其延長線于G，EH⊥DF交其延長線于H．由已知得，在△BCG和△EFH中，∠BGC = ∠EHF = 90°，∠BCG = ∠EFH = 70°，BC = EF，所以，△BCG△EFH．所以，BG = EH，又∠BGA = ∠EHD = 90°，由“HL” ,得 △ABG△DEH，則∠A = ∠D，所以，由“角角邊”可證△ABC△DEF．

如此可見，“邊邊角”的條件不能保證三角形一定全等，但也并非一定不全等．“斜邊、直角邊”與等腰三角形的性質的關系密切,一定要好好把握.另外，后續知識的學習（如勾股定理、銳角三角函數），也會幫助我們加深對“斜邊、直角邊”的理解．

[經典例析]

例1 已知：如圖 5，AD為△ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于F，且BF = AC，FD = CD．求證：BE ⊥ AC．

點撥：如圖5，若要證BE⊥AC，只需說明∠1 ＋ ∠C = 90°即可．而AD為△ABC的高，故有∠CAD ＋ ∠C = 90°（這個環節十分關鍵，能否化解問題、聯系已知，就在于此）．如此，我們只需說明∠1=∠CAD．而∠1、∠CAD分別是△BDF和△ADC的角，所以，只要說明△BDF△ADC，而這由已知條件是不難說明的．另外，試著將題目中某已知與結論對換，看看是否成立，你會有更多收獲．

解：因為AD為△ABC的高，所以∠ADB = ∠ADC = 90°．在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF = AC，FD = CD，所以Rt△BDFRt△ADC．所以∠1 = ∠CAD．因為∠ADC = 90°，所以∠C ＋ ∠CAD = 90°．所以∠C ＋ ∠1 = 90°．所以∠BEC = 90°，即BE⊥AC．

例 2 如圖 6，已知∠ACE = 90°，AC = EC，B為AE上一點，ED⊥CB于點D，AF⊥CB交CB的延長線于點F．求證：DF = DE － AF．

點撥：由圖知，DF = CF － CD，如果能說明CF = DE，CD = AF，就能得DF = DE － AF．CF、AF與DE、DC分別是△ACF和△CED的邊，如果能說明△ACF△CED，就能得CF = ED，AF = CD．由已知條件可說明△ACF △CED．（若把題目中AE上的點B運動至AE或EA的延長線上時，結論會怎樣呢？原來的結論仍然成立嗎？相信你能把“幾何”學“活”）

解： 因為AF⊥BC，DE⊥BC，所以∠AFC = ∠CDE = 90°．所以∠DCE ＋ ∠DEC = 90°．因為∠ACE = 90°，所以∠ACF ＋ ∠DCE = 90°．所以∠ACF = ∠DEC．

在△ACF和△CED中，∠AFC = ∠CDE，∠ACF = ∠DEC，AC = CE，所以△ACF△CED（AAS）．所以CF = DE，CD = AF．所以DF = CF － CD = DE － AF．

[即學即練]

1. 如圖 7，已知CD⊥AB于D，CD = BD，下列4個條件：①AD =ED；②∠A = ∠BED； ③ ∠C = ∠B； ④ AC = EB．其中能得出△ADC△EDB的條件是（）.

A. ① B. ②③④ C. ①④ D. ①②③④

2. 如圖 8，已知△ACD中，AB⊥CD于B，BD ＞ BC，△BCE和△ABD都是等腰直角三角形．下面4個結論：①△ABC△DBE； ②△ACE△ADE； ③AC = DE；④E是△ACD的3條高的交點．其中正確的是（）.

A. ①②③ B.①③④ C.①②④ D. ②③④

3. 如圖 9，已知AB = AC，AE = AF，AD⊥BC，則圖中全等三角形有（）.

A. 1 對 B. 2 對 C. 3 對 D. 4 對

4. 如圖10，已知AD = BC , AE、 CF分別垂直BD于E、F , AE = CF , 則圖中相等的角（除直角外）有 （）.

A． 3 對B． 4 對C． 5 對 D． 6 對

5. 判定兩個三角形全等，給出如下5組條件：①兩邊和一角對應相等；②兩角和一邊對應相等； ③兩個直角三角形中斜邊和一條直角邊對應相等；④三個角對應相等；⑤兩個直角三角形的一直角邊和斜邊上的高對應相等．其中能判定這兩個三角形全等的條件是（）.

A.①②③ B.①④⑤ C.②③⑤ D.②③④

6. 如果兩個三角形的兩條邊和其中一邊上的高分別相等，那么這兩個三角形第三邊所對的角的關系是（）.

A. 相等 B. 不相等 C. 互余 D. 互補或相等

7. 如圖 11，已知點B、F、C、E在同一直線上，AC、DF相交于點G，AB⊥BE，垂足為B，DE⊥BE，垂足為E，且AB ＝ DE，BF ＝ CE．

求證：（1）△ABC△DEF；（2）GF ＝ GC．

8. 如圖 12，已知四邊形ABCD中，AB = AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，圖中有無和△ABE全等的三角形？說明理由．

9. 如圖13，已知AD是△ABC的中線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，BE = CF．求證：AD是∠BAC的平分線．

[中考風向標]

1. （2007年·蕪湖市）如圖14， 在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點H，已知EH = EB = 3，AE = 4，則CH的長是（）.

A． 1 B． 2 C． 3 D．4

點撥：解決問題的關鍵是要能從復雜圖形中分離出基本圖形，在學習中認清全等三角形之間的平移、旋轉、對稱、翻折等空間關系，從而找到關鍵的三角形，題目難度不大，但突出考查了空間能力及三角形全等的基本知識．

解：因為AD⊥BC，CE⊥AB，所以∠BCE ＋ ∠CHD ＝ ∠AHE ＋ ∠EAH =90°．又因為∠CHD ＝ ∠AHE，所以∠BCE ＝ ∠EAH．而∠BEC ＝ ∠HEA = 90°，所以Rt△BECRt△HEA．所以CE = AE = 4，則CH = CE － EH = 1．

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”