由少到多探索三角形全等的條件

文　武

前面我們了解了全等三角形的性質(zhì)以后，判定兩個三角形全等需要哪些條件是我們在現(xiàn)實(shí)生活中常常遇到的問題.

[問題與情境]

我市一家加工公司接到一批三角形架的加工任務(wù)，客戶的要求是所有的三角形必須全等. 質(zhì)檢部門為了使產(chǎn)品順利過關(guān)，提出了明確的要求：要逐一檢查三角形的三條邊、三個角是不是分別相等. 技術(shù)科的小明提出了質(zhì)疑：分別檢查三條邊、三個角這6個數(shù)據(jù)固然可以， 但為了提高效率，是不是可以找到一個更優(yōu)化的方法？只量一組數(shù)據(jù)可以嗎？兩組呢？

小明已提出了這么一個設(shè)想，同學(xué)們是否可以和小明一起來攻克這個難題呢？我們可以通過畫圖、觀察、比較，在條件由少到多的過程中逐步探索.

（1） 只量一組數(shù)據(jù)，即一組對應(yīng)邊或一組對應(yīng)角能不能判斷兩個三角形全等呢？

（2） 測量兩組數(shù)據(jù)能判定嗎？這時有三種情況，即兩組對應(yīng)邊、一組對應(yīng)邊一組對應(yīng)角、兩組對應(yīng)角.

（3） 若兩組條件仍不能判定兩個三角形全等，再添加一個條件呢？

在對三組條件下的四種可能，即三條邊、三個角、兩邊一角和兩角一邊的探索中，我們逐步得到兩個三角形全等的條件.

三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊邊邊”或“SSS”. （三角形的穩(wěn)定性）

兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA”.

兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS”.

兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等.簡寫成“邊角邊”或“SAS”．

[開眼界]

國家郵政局于 2000 年 11 月 20 日發(fā)行了一套《中國“神舟”飛船首飛成功紀(jì)念》等邊三角形郵票，這是我國繼 1951 年發(fā)行的第一套《保衛(wèi)世界和平》三角形郵票之后，發(fā)行的第二套三角形郵票. 從世界范圍看，各國發(fā)行的郵票，雖然也是以方形款式居多，但三角形及圓形、梯形、平行四邊形、六邊形、不規(guī)則幾何形等其他種類的異形郵票并不鮮見.自 1840 年郵票問世后的最初10年里，各國（地區(qū)）發(fā)行的郵票均是橫豎長方形，以體現(xiàn)有價證券的莊嚴(yán). 1851年，加拿大新不倫瑞克率先發(fā)行了一種正菱形郵票，給人耳目一新之感. 1853年，南部非洲好望角地區(qū)誕生了世界上第一套三角形郵票，主圖為希臘女神坐像，主要是因?yàn)楫?dāng)?shù)鼐用翊蟛糠质俏拿ず桶胛拿?，寄本埠和外埠郵件時搞不清該貼哪種郵票. 郵政當(dāng)局遂創(chuàng)意推出別致的三角形郵票，流傳至今已成身價不菲的世界級珍郵. 倘若說到中國三角郵票票形的起始年代，可追溯到清末的非常時期. 當(dāng)時，由于種種原因，某些地方郵局個別小面值郵票售缺，一時又無法獲得補(bǔ)充，于是自行將現(xiàn)有之較大面值郵票對半剪開作半價使用應(yīng)急. 1903 年 10 月 22 日至24 日，當(dāng)時的福州郵局 1 分郵票售完，經(jīng)呈北京郵政總局，特準(zhǔn)臨時將豎長方形的紅色 2 分蟠龍郵票斜角對剖，每半枚成不等邊三角形暫作 1 分郵票，使用時需先蓋上黑色長方形英文“郵資 1 分已付”戳，再蓋銷日戳. 從 1853 年到 2000 年，從南非好望角的“希臘女神”到中國的“‘神舟飛船”，我們看到：在僅僅百多年的時間里，不但郵票的設(shè)計藝術(shù)與印刷水平有了極大的提高與進(jìn)步，而且人類對宇宙神話般的向往終于成為了現(xiàn)實(shí)！真可謂：神女應(yīng)無恙，當(dāng)驚世界殊. 可以說，這套三角形《中國“神舟”飛船首飛成功紀(jì)念》郵票，又為我國的“國家名片”——郵票家族增添了新的光彩.

[經(jīng)典例析]

例 1 如圖 1，點(diǎn) E、F 在 BC 上，BE ＝ CF，AB ＝ DC，∠B ＝ ∠C，那么AF ＝ DE 嗎？為什么？

如果能證明△ABF△DEC，由全等三角形的性質(zhì)可以得到AF ＝ DE.

解：AF ＝ DE．

理由：∵ BE ＝ CF,

∴ BF ＝ CE.

∵ AB ＝ DC，∠B ＝ ∠C, BF ＝ CE,

∴ △ABF△CDE. （SAS）

∴ AF ＝ DE.

根據(jù)題目提供的條件，結(jié)合圖形，靈活地選用三角形全等的判定方法證明三角形全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到線段相等.

[即學(xué)即練]

1． 在生活中，我們經(jīng)常會看到圖 2 所示的情況，在電線桿上拉兩條鋼筋來加固電線桿，這是利用了三角形的 .

2. 如圖 3，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了3片，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶 去.

3． 如圖 4，已知在△ABC和△DCB中，AC = DB，若不增加任何字母與輔助線，要使△ABC△DCB，則還需增加一個條件是 .

4． 如圖 5，AB = DC，AD、BC相交于點(diǎn)O，要使△ABO△DCO，應(yīng)添加的條件為（添加一個條件即可）.

5． 下列判斷中，錯誤的是（）.

A． 有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

B． 有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

C． 有兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等

D． 有一邊對應(yīng)相等的兩個等邊三角形全等

6． 如圖 6，在△ABC與△DEF中，給出以下 6 個條件：①AB = DE；②BC = EF；③AC = DF；④∠A = ∠D；⑤∠B = ∠E；⑥∠C = ∠F．以其中 3 個條件作為已知，不能判斷△ABC與△DEF全等的是（）.

A． ①②⑤ B．①②③

C． ①④⑥ D．②③④

7． 如圖 7，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于F，若BF=AC，那么∠ABC的大小是（）.

A．40°B．45°C．50°D．60°

8． 如圖 8，將兩根鋼條AC、BD的中點(diǎn)O連在一起，使AC、BD可以繞著點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動，就做成了一個測量工具，則CD的長等于內(nèi)槽寬AB，那么判定△OAB△OCD的理由是（）.

A． 邊角邊 B． 角邊角 C． 邊邊邊 D． 角角邊

9． 如圖 9，點(diǎn)E在AB上，AC = AD，∠CAB= ∠DAB，請你寫出圖中全等的三角形，并就其中的一對給予證明.

10． 如圖10，AB = AC，BD = CD，則∠B與∠C相等嗎？請說明理由.

[中考風(fēng)向標(biāo)]

1． （2007年·沈陽市）如圖11，AC、BD相交于點(diǎn)O，∠A ＝ ∠D，請你再補(bǔ)充一個條件，使得△AOB△DOC，你補(bǔ)充的條件是 .

本題考查了全等三角形的判定方法. 在△AOB與△DOC中，已有∠A ＝ ∠D，∠AOB ＝ ∠DOC,還缺一組邊對應(yīng)相等，因此補(bǔ)充的條件是AO ＝ DO或AB ＝ DC或BO ＝ CO.

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”