感悟三角形角平分線和中線的概念

譚水報

[問題與情境]

1. 準備銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形紙片各一個.

（1） 你能分別畫出這 3 個三角形的 3 條角平分線嗎？

（2） 你能用折紙的辦法得到它們嗎？

（3） 在每個三角形中，這 3 條角平分線之間有怎樣的位置關系？

2. 在紙上畫出一個銳角三角形，并畫出它的 3 條中線，它們有怎樣的位置關系？鈍角三角形和直角三角形的 3 條中線也有同樣的位置關系嗎？折一折，畫一畫，并與同伴交流.

結論：三角形的 3 條角平分線交于一點，3 條中線交于一點.

[開眼界]

中國近現代數學發展時期

中國近現代數學開始于清末民初的留學活動. 較早出國學習數學的有：1903 年留日的馮祖荀，1908 年留美的鄭之蕃，1910 年留美的胡明復和趙元任，1911 年留美的姜立夫，1912 年留法的何魯，1913 年留日的陳建功和留比利時的熊慶來（1915 年轉留法），1919 年留日的蘇步青等人. 他們中的多數回國后成為著名數學家和數學教育家，為中國近現代數學發展作出重要貢獻.20 世紀30 年代出國學習數學的還有江澤涵、陳省身、華羅庚、許寶等人，他們都成為中國現代數學發展的骨干力量. 1935 年中國數學會成立大會在上海召開，共有33名代表出席. 1936 年《中國數學會學報》和《數學雜志》相繼問世，這些標志著中國現代數學研究的進一步發展. 建國后的數學研究取得長足進步.20 世紀 50 年代初期就出版了華羅庚的《堆壘素數論》（1953）、蘇步青的《射影曲線概論》（1954）、陳建功的《直角函數級數的和》（1954）和李儼的《中算史論叢》（5輯，1954～1955）等專著．到1966 年，共發表各種數學論文約 2 萬余篇. 除了在數論、代數、幾何、拓撲、函數論、概率論與數理統計、數學史等學科繼續取得新成果外，還在微分方程、計算技術、運籌學、數理邏輯與數學基礎等分支有所突破，有許多論著達到世界先進水平，同時培養和成長起一大批優秀數學家.20 世紀 60 年代后期，中國的數學研究基本停止. 1970 年《數學學報》恢復出版，并創刊《數學的實踐與認識》. 1973 年陳景潤在《中國科學》上發表《大偶數表示為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和》的論文，在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就. 此外中國數學家在函數論、馬爾可夫過程、概率應用、運籌學、優選法等方面也有一定創見. 1978 年11月中國數學會召開第三次代表大會，標志著中國數學的復蘇. 1978 年恢復全國數學競賽，1985 年中國開始參加國際奧林匹克數學競賽. 1981 年陳景潤等數學家獲國家自然科學獎勵. 1983 年國家首批授予18 名中青年學者以博士學位，其中數學工作者占．1986年中國第一次派代表參加國際數學家大會，加入國際數學聯合會，吳文俊應邀做了關于中國古代數學史的演講.1985 年慶祝中國數學會成立 50 周年年會上，已確定中國數學發展的長遠目標，立志要不懈地努力，爭取使中國在世界上早日成為新的數學大國.

[經典例析]

例 1 如圖1，在△ABC中，BD = CD，∠ABE = ∠CBE，BE 交 AD 于點 F，則：

（1） AD是三角形 的 線， 是△BCE 的中線；

（2） BE是三角形 的 線， 是△ABD 的角平分線.

解：（1） ABC 中 ED

（2） ABC 角平分 BF

依據三角形角平分線、中線的定義，由角相等、線段相等來確定哪條線段是角平分線和中線.要特別注意：三角形的角平分線、中線都是線段；一個三角形有 3 條角平分線和 3 條中線，且都在三角形內.

例2 如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=2∠A，BD是△ABC的角平分線，求∠CDB的度數.

解：因為∠C=90°，所以∠CBA+∠A=90°.又因為∠ABC=2∠A，所以∠A=30°，∠CBA=60°.又因為BD是△ABC的角平分線，所以∠CBD=∠CBA=30°.而∠CBD+∠CDB=90°，所以∠CDB=60°