認識三角形的基本元素和三邊關系

楊　升

[問題與情境]

1． 觀察圖1的屋頂框架圖．

（1）你能從圖中找出4個不同的三角形嗎？

（2）與同桌交流各人找到的三角形．

（3）這些三角形有什么共同的特點？

2． 元宵節的晚上，圖1斜梁上裝有黃色彩燈，橫梁上裝有紅色彩燈，那么裝有黃色彩燈的電線與裝有紅色彩燈的電線哪根長呢？說說你的理由．你知道在一個三角形中，任意兩邊之和與第三邊的長度有怎樣的關系嗎？為什么會有這樣的關系？

[開眼界]

“幾何”這個詞來源于希臘文，原意是土地測量．在遠古時代，人們在實踐中積累了平面、直線、方、圓、長、寬等概念，并逐步認識了它們之間的位置和數量關系，這些后來就成了幾何學的基本概念．真正把幾何總結成一門具有嚴密理論的學科的是希臘杰出的數學家歐幾里得．他非常詳盡地搜集了當時所能知道的一切幾何事實，按著柏拉圖和亞里士多德提出的關于邏輯推理的方法整理成 一套嚴密系統理論，寫成了數學史上的早期巨著——《幾何原本》，歐幾里得的《幾何原本》共13卷，第一卷講三角形全等的條件、三角形邊角關系、平行線理論、多邊形的面積等問題；第二卷講如何把三角形變成等積（面積）的正方形；第三卷講圓；第四卷討論內切和外接多邊形；第五卷講相似多邊形理論；第六到第十卷講比例和算術理論；最后3卷講述立體幾何的內容.

[經典例析]

例1（1）如圖2，圖中共有[ ]個三角形，它們分別是[ ]．

（2）以AD為邊的三角形有[ ]．

（3）∠C分別為△AEC、△ADC、△ABC中[ ]、[ ]、[ ]邊的對角.

（4）∠AED是[ ]、[ ]的內角.

答案：（1）6△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC

（2）△ABD、△ADE、△ADC

（3）AE AD AB

（4）△ADE △ABE

理解三角形的含義有三個要點：①不在同一直線上；②三條線段；③首尾順次相接．這三點缺一不可．三角形用符號“△”表示；頂點是A、B、C的三角形記作“△ABC”，在復雜圖形中數三角形時，要注意做到不重不漏．在數三角形個數時，可先固定一個頂點，變換另兩個頂點，依次數下去，要按一定的順序去找，才能不重不漏；圖2中都有一個公共點A，只需在BC上找出所有的線段，BC上共有6條線段：BD、BE、BC、DE、DC、EC，運用這種有序化的數學思路來找，便可找出圖中所有三角形.

例2 有兩根長度分別為5 cm和8 cm的木棒．用長度為2 cm的木棒與它們能擺成三角形嗎？為什么？長度為13 cm的木棒呢？

解：取長度為2 cm的木棒時，由于2 ＋ 5 ＝ 7 ＜ 8，出現了兩邊之和小于第三邊的情況，所以它們不能擺成三角形.

取長度為13 cm的木棒時，由于5 ＋ 8 ＝ 13，出現了兩邊之和等于第三邊的情況，所以它們也不能擺成三角形.

三角形的三邊關系為：三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形任意兩邊之差小于第三邊，巧記為“和者大，差者小”.該關系有兩個作用：①判斷三條線段能否組成三角形．通常采用較短兩邊的和與最長邊（或最長邊與所剩兩邊中的一條邊的差與另一邊）的大小關系來得結論，若大于（或小于），則可以組成三角形，否則不能組成三角形．②確定三角形第三邊的取值范圍．當已知兩邊求第三邊的取值范圍時，第三邊必須滿足“兩邊之差的絕對值＞第三邊＞兩邊之和”，即如果已知三角形的兩邊a和b，第三邊為c，則有a－b ＜ c ＜ a ＋ b．

[即學即練]

1． 下列圖形是三角形的為（）．

2． 以下列各組線段為邊，能組成三角形是（）．

A． 2 cm，2 cm，5 cm B． 4 cm，7 cm，3 cm

C． 5 cm，2 cm，8 cm D． 11cm，9 cm，6 cm

3． 已知三條線段的長度之比如下，其中能夠組成三角形的是（）．

A． 2∶3∶4B． 3∶4∶7C． 1∶2∶4D． 4∶5∶10

4． 一位木工師傅現有兩根木條，它們的長分別為50 cm、70 cm，他要選擇第三根木條，將它們釘成一個三角形木架．設第三根木條長為x cm，則x的取值范圍是[ ]．

5． 四條線段的長分別為5 cm、6 cm、8 cm和13 cm，以其中任意三條線段為邊可構成[ ]個三角形.

6． 指出圖3中有幾個三角形，并用符號寫出來.

7． 如果三角形的兩邊長分別是2和4，且三角形的周長為3的倍數，則三角形的第三邊長為多少？

8． 在三角形中，一邊長等于另一邊長的2倍，試探究該三角形的最短邊與周長的關系，并說明理由.

9． 有三段粗細均勻且直徑相同的鋼筋，長度分別是a cm、b cm和x cm，恰好可以圍成一個三角形，其質量分別是20 kg，30 kg和p kg，求p的取值范圍（鋼筋質量與長度成正比）.

10． 如圖4，AB ＝ BC ＝ AC ＝ 4，將三邊均分為4等份．問：圖中共有多少個三角形？

[中考風向標]

1． （2006年·常德市）有4條線段，它們的長分別為1 cm、2 cm、3 cm和4 cm，從中選三條構成三角形，其中正確的選法有（）．

A． 1種 B． 2種 C． 3種 D． 4種

2． （2007年·貴陽市）在△ABC中，若AB ＝ 8，BC ＝ 6，則第三邊AC的長度m的取值范圍是[ ]．

參考答案：1． A2． 2 ＜ m ＜ 14

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