摸球的概率問題歸類分析

陸干華　等

隨著社會的不斷發展，統計與概率的思想方法越來越得到重視，“運用數據進行推理”已成為現代社會普遍適用的思維方式，因此概率問題便成為近年來命題的新亮點.命題者以摸球、拋硬幣、轉轉盤、抽撲克等同學們既熟悉又感興趣的事件為載體，設計成概率中考題，以考查分析、解決問題的能立.下面就以摸球為載體的中考題分類解析.

一、從一袋中取一球

例1 小明和小樂做摸球游戲．一只不透明的袋里放有3個紅球和5個綠球，每個球除顏色外都相同，每次摸球前都將袋中的球充分攪勻．從中任意摸出1個球，記錄顏色后再放回，若是紅球小明得3分，若是綠球小樂得2分．游戲結束時得分多者獲勝．

（1）你認為這個游戲對雙方公平嗎？

（2）若你認為公平，請說明理由；若你認為不公平，也請說明理由，并修改規則，使該游戲對雙方公平．

解析：（1）不公平．（2）因為每個球除顏色外都相同，所以從中任意摸出1個球的機會是相同的．袋里共有球8個，其中紅球3個、綠球5個，因此從中任意摸出1個球，有P（摸出紅球） ＝ ，P（摸出綠球） ＝ ．所以小明平均每次得分＝ × 3 ＝ （分），小樂平均每次得分 ＝ × 2＝ （分）．因為 ＜ ，所以游戲對雙方不公平．游戲規則相應部分可修改為：①口袋里只放2個紅球和3個綠球；②摸出紅球小明得5分，摸到綠球小樂得3分.

二、從一袋中取兩球

1． 從一袋中取兩球，第一次取出不放回．

例2 不透明的口袋里裝有白、黃、藍三種顏色的乒乓球（除顏色外其余都相同），其中白球有2個，黃球有1個．現從中任意摸出1個是白球的概率為．

（1）試求袋中藍球的個數；

（2）第一次任意摸1個球（不放回），第二次再摸1個球，請用畫樹狀圖或列表格法，求兩次摸到的都是白球的概率．

解析：（1）設藍球個數為x，則由題意，得 ＝ ，則x ＝ 1，所以藍球有1個．

（2）用畫樹狀圖來探求兩次摸球的所有等可能的結果如圖1．

從上面的樹狀圖可以發現．兩次摸球的所有等可能的結果有12種，其中兩次摸到的都是白球的結果有2種，所以兩次摸到的都是白球的概率為．

說明：由于第一次取球后不放回，所以第二次取球的可能性結果比第一次取球的可能性結果少一種，畫樹狀圖或列表時要注意這一點．另外，我們有時會遇到一次摸兩球的情形，其實質與摸兩次第一次不放回是一樣的.

2． 從一袋中取兩次球，第一次取后又放回．

例3 一個不透明的袋子中裝有3個完全相同的小球，分別標有數字3、4、5，從袋子中隨機取出1個小球，用小球上的數作為十位上的數，然后放回；再取出1個小球，用小球上的數作為個位上的數，這樣組成一個兩位數.試問：按這種方法能組成哪些兩位數？組成的兩位數中，十位上的數與個位上的數之和為9的兩位數的概率是多少？用列表法或畫樹狀圖法加以說明．

解析：用列表法探求兩次摸球的所有等可能的結果如表1．

表1

從表1可以看出，能組成的兩位數有：33，34，35，43，44，45，53，54，55．組成的兩位數有9個，其中十位上的數與個位上的數之和為9的兩位數有2個，所以這個概率P ＝ .

說明：由于第一次取球后又放回，因此第二次取球的可能性結果與第一次取球的可能性結果是完全相同的，在畫樹狀圖或列表時，要注意這一點.

三、從多袋中取球

例4 某中學七年級有6個班，要從中選出2個班代表學校參加某項活動，七（1）班必須參加，再從另外5個班選出1個班．七（4）班有同學建議用如下的方法：從裝有編號為1、2、3的3個白球A袋中摸出1個球，再從裝有編號為1、2、3的3個紅球B袋中摸出1個球（兩袋中的球除顏色外其余特征完全一樣），摸出的2個球上的數之和是幾，就選幾班．你認為這種方法公平嗎？請說明理由．

解析：方法不公平．

說理1：用表格來說明，如表2．

表2

說理2：畫樹狀圖來說明，如圖2．

從表2或圖2可以看出，摸出的2個球上的數之和有9種等可能的結果：和為2的有1種，和為3的有2種，和為4的有3種，和為5的有2種，和為6的有1種．所以七（2）班被選中的概率為，七（3）班被選中的概率為，七（4）班被選中的概率為＝，七（5）班被選中的概率為，七（6）班被選中的概率為．因此這種方法不公平.

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