《概率》知識盤點

左加亭

知識樂園

1．知識結構網絡

2．知識要點

（1）可能性的大小

我們知道，生活中有些事情一定會發生，有些事情一定不會發生，有些事情可能會發生．通過學習我們知道這部分內容的主要知識點是：人們通常用1或100％來表示必然事件發生的可能性，也就是必然事件發生的概率為1；用0來表示不可能事件發生的可能性，即不可能事件發生的概率為0；不確定事件發生的概率大于0且小于1.

（2）游戲是否公平

幾個人玩一種游戲，對所有的人是否公平，主要從兩個方面來檢測，一是判斷游戲雙方操縱的是否是同類事件，二是兩事件發生的可能性是否相等.理解游戲是否公平應注意的問題：一是理解含義．游戲不具有公平性，游戲的結果就失去了意義，要使游戲對雙方公平，首先是游戲的操作方式，程序、規則等條件必須相等．另一個重要的方面是對雙方獲勝的可能性要相等.

（3）認識概率知識要點

認識概率這部分內容的知識要點關鍵有三個：一是必然事件發生的概率為1，記作P（必然事件）＝1；二是不可能事件發生的概率為0，記作P（不可能事件）＝0；三是如果事件A為不確定事件（此處指可能發生也可能不發生的事件）那么不確定事件的概率為：0 ＜ P（A） ＜ 1.

（4）簡單概率計算的類型

概率是一個用以表示事件發生的可能性大小的數值，常見的概率方面的計算問題有如下類型：①古典概型．求事件發生的概率，需先求出所有可能的情形數n，再求出符合要求的情形數m，則該事件發生的概率為P ＝ ．②幾何概型．事件發生的概率等于此事件所有可能結果所組成的圖形的面積除以所有可能結果組成的圖形的面積．③概率的實際應用．按具體事件發生的概率要求，利用數量關系建立概率模型，解決實際問題．

妙 題 屋

例1 下列說法錯誤的是（）．

A． 必然發生的事件發生的概率為1

B． 不可能發生的事件發生的概率為0

C． 隨機事件發生的概率大于0且小于1

D． 不確定事件發生的概率為0

解析： 不確定事件和隨機事件發生的概率為0 ＜ P ＜ 1，因此，不確定事件發生的概率不為0，應選D．

例2 經過某十字路口的汽車可能繼續直行，也可能向左轉或向右轉，如果這三種可能性大小相同，那么3輛汽車經過這個十字路口，至少有兩輛車向左轉的概率為[ ]．

解析： 本題情況較復雜，可列樹狀圖解． 如果這三種可能性大小相同，那么三輛汽車經過這個十字路口共有27種情況，其中至少有兩輛車向左轉的概率為．

例3 將A、B、C、D 4個人隨機分成甲乙兩組參加羽毛球比賽，每組2人．

（1） A在甲組的概率是多少？

（2） A、B都在甲組的概率是多少？

解析： 所有可能出現的結果列表如下：

表1

總共有6種結果，每種結果出現的可能性相同．

（1） 所有的結果中，滿足A在甲組的結果有3種，所以A在甲組的概率是；（2） 所有的結果中，滿足A、B都在甲組的結果有1種，所以A、B都在甲組的概率是．

中 考 考 點

考點1 ：隨機事件

例4 （2007年·淮安市）根據最新規則，乒乓球單打淘汰賽采用七局四勝制（誰先贏滿四局為勝）．2007年5月27日，第49屆世乒賽男單決賽結算了前四局，馬琳以3∶1領先王勵勤．此時甲、乙、丙、丁4位同學給出了如下說法．甲：馬琳最終獲勝是必然事件；乙：馬琳最終獲勝是隨機事件；丙：王勵勤最終獲勝是不可能事件；丁：王勵勤最終獲勝是隨機事件.4位同學的說法中，正確的是（）．

A． 甲和丙 B． 乙和丁

C． 乙和丙 D． 甲和丁

點撥：判斷一個事件是不是隨機事件，我們必須抓住確定事件、不可能事件和隨機事件的概念．在敘述這三種事件時，我們都反復提到“在一定條件下”這幾個字，因為必然事件、不可能事件、隨機事件都必須受到一定條件的制約．

解析： 由于比賽采用七局四勝制，馬琳勝了3場，有可能后面4場全輸，所以馬琳可能獲勝也可能不獲勝；王勵勤雖然只有1場勝，但如果后面3場全勝，那么他就能贏．因此兩人最終誰獲勝這一事件是一個隨機事件，故選B．

考點2：古典概型

例5 （2007年·赤峰市）在一副撲克牌（54張，其中王牌2張）中，任意抽取1張牌是“王牌”的概率為（）．

A． B． C． D．

點撥：古典概型概率要求試驗的結果是有限個的，且結果出現的可能性相等，因此求古典概型的概率時，要關注某個事件在試驗中可能出現哪些結果，以及這些結果發生的機會是否均等，然后根據求概率公式求出事件A發生的概率P（A）＝．

解析： 在一副撲克牌中任意抽取1張牌，可能的結果有54種，其中有2種是“王牌”，故任意抽取1張牌是“王牌”的概率是．

考點3：游戲的公平性

例6 （2007年·威海市）圖1是兩個可以自由轉動的轉盤，甲轉盤被等分成3個扇形，乙轉盤被等分成4個扇形，每一個扇形上都標有相應的數字．小亮和小穎利用它們做游戲，游戲規則是：同時轉動兩個轉盤，當轉盤停止后，指針所指區域內的數之和小于10，小穎獲勝；指針所指區域內的數之和等于10，為平局；指針所指區域內的數之和大于10，小亮獲勝；如果指針恰好指在分割線上，那么重轉一次，直到指針指向一個數字為止．

（1） 請你通過畫樹狀圖的方法求小穎獲勝的概率．

（2） 你認為該游戲是否公平？若公平，請說明理由；若不公平，請你設計出一種公平的游戲規則．

點撥：通過列表法或畫樹形圖，分別求出小亮和小穎獲勝的概率，然后比較這兩個概率的大小．如果概率相同，則游戲公平；若不同，則游戲不公平．設計一個公平游戲的原則是保證這個游戲對于玩游戲者獲勝的概率相同．

解析：（1）樹狀圖如圖2．

可見，共有12種等可能的情況，其中和小于10的有6種．

所以小穎獲勝的概率為＝．

（2） 該游戲規則不公平． 由（1）知，共有12種等可能的情況，其中和大于10的情況有6種，和等于10的情況有3種．故小亮獲勝的概率為＝，而小穎獲勝的概率為，所以游戲不公平．游戲規則可修改為：當兩個轉盤指針所指區域內的數之和大于10時，小亮獲勝；當兩個轉盤指針所指區域內的數之和小于或等于10時，小穎獲勝．

修改游戲規則的方式很多，只要修改后的游戲規則符合題目要求均可．例如游戲規則也可修改為：當兩個轉盤指針所指區域內的數之和為奇數時，小亮獲勝，為偶數時，小穎獲勝．

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”