從零向量與任何向量都平行說起

楊冠夏

有的數學老師告訴他的學生，說不要去問那些數學上的規定，為什么要這樣規定，說：“沒有‘為什么”.對于這種回答，北京22中的孫維剛（1938.12—2002.1）老師的評價是“這太遺憾了，太殘酷了”，說這么好的問題，我們老師“求之不得”.身為全國著名的數學特級教師的孫維剛認為“科學上（數學尤其如此）的任何規定，都是有‘為什么的”.[１]

在學平面向量的時候，我們也會遇到一個規定：“零向量與任一向量平行.”[2]

我們也會問，為什么要這樣規定，一定要規定零向量與任何向量都平行呢？零向量的方向既然可以是任意的，那么說零向量與a成90°角，成60°角，難道不可以嗎？

這個“0∥a”的規定還有更深刻的道理嗎？

回答，有.

1 “零向量與任何向量平行”為向量空間概念的形成掃除了障礙

我們知道，向量可以平移.“向量共線”和“向量平行”是同一個概念.

我們假定與某一直線共線（平行）的所有向量組成一個集合A.正是由于規定了零向量與任何向量都平行，才有0∈A.于是這個集合A中的向量才滿足下面三條：

1°任給a，b∈A,總有a+b∈A;

2°任給a，c∈A,則必存在b∈A,使a+b=c成立.我們說b=c-a;(只有封閉的運算才有逆運算）.

3°任給a，b∈A,(a≠0),則必存在惟一的實數λ,使b=λa;反之，若a∈A,λ∈R,b=λa,則b∈A.

1°,2°,3°分別說明對于集合A，加法，減法，數乘這三種運算的結果仍然在集合A當中.我們把這分別稱做加法、減法和數乘，這三種運算對于集合A是“封閉的”.

如果我們不作“零向量與任何向量都平行”的規定，那么，對于某個共線向量集合A.這有可能0麬.我們給定a∈A.當然-a∈A,然而a+（-a）麬.這樣，加法運算對于集合A就不封閉了.類似地，向量的減法、數乘，這兩種運算的封閉性也都不成立了.

保持了加法、減法，數乘運算封閉性的每一個共線（平行）向量集合，我們稱它為一個一維向量空間.

平面向量對向量加、減、數乘運算也是封閉的，同樣的空間向量也具有這種對加、減、數乘的封閉性.平面向量基本定理，空間向量基本定理都是建立在這種對加、減、數乘運算的封閉性之上的.

我們把平面向量集合稱為二維向量空間，而空間向量集合則被稱為三維向量空間.

如果沒有“零向量與任一向量平行”的這一條規定，那么，任何向量空間也都不復存在了.這是因為平面向量基本定理，空間向量基本定理都要以一維向量空間為基礎.而沒有“零向量與任一向量平行”，就沒有一維向量空間.

向量具有維度，這是向量的重要特征.向量維度特征的形成離不開“零向量與任何一向量平行”這個規定.

2 向量是個遵守維度規則卻又不受維度限制的量

平面向量可以用這個平面上一個二維基底惟一地線性表示.反過來也對，二維基底的任何一個線性表示，必為這個平面的一個向量.這使得選擇恰當的基底表示成為解決平面向量問題的一個方法.

用單位正交基底表示平面向量，便產生了平面向量的坐標表示方法.坐標表示平面向量本質上是平面向量的基底表示的特殊形式.由于它的簡便易行，這就形成解決平面向量問題的另一個方法.

上面兩個結論都可以推廣到三維.三個不共面的向量可以作為空間向量的三維基底.而三維的單位正交基底的特殊形式又派生了空間向量的三維坐標表示.

用三維基底表示空間向量以解決空間向量問題，或者用三維坐標表示空間向量來解決空間向量問題，這是空間向量的兩種不同的解題方法.

向量必定要遵守維度規則.這是我們在學習向量過程中要區分平面向量和空間向量的依據.在知識上，它集中體現在平面向量基本定理和空間向量基本定理上面.

讓人驚訝的是，向量的運算又表現出不受維度約束的極大的靈活性.表現有二：

其一，不論是平面向量還是空間向量，多個向量的加法都可以首尾相接求和.這個加法操作規則不受向量維度的限制.向量的加減運算可以不通過相應基底或坐標表示而直接操作.

其二，向量的內積a·b,它的運算結果不再是向量，而是一個實數了.向量內積對于任何一個向量集合不再具備前面說的那種運算的封閉性.

為什么a·b不存在逆運算，為什么沒有三個以上向量的內積.

你看見a·b=|a||b|cos這個定義在做什么事情了嗎？

a+b,a-b,λa(λ∈R),向量加向量，向量減向量，向量乘以一個實數，我們把向量比作硬梆梆的“箭”，那么，它們的運算結果仍舊是硬梆梆的“箭”，它自己就是一枝硬梆梆的可以平移的實體.你需要用模和方向來刻劃這個硬梆梆的奇異的量.但是，硬梆梆和硬梆梆的點乘積竟然不再硬梆梆的，竟然“水化了”，變成實數了，在實軸上流淌.如果a⊥b,a與b成90°角，那么a·b=0，a，b的內積還要“氣化”呢，比“水化”還要厲害.隨著向量a，b夾角的不同，cos讓這個投影的“氣化”的程度有所不同.

盡管向量內積的這種“水化”和“氣化”現象也可以通過向量內積的基底運算和坐標公式反映出來，然而“水化”與“氣化”畢竟可以成為向量運算的一個捷徑而不再依賴于向量的基底表示或是坐標表示.

a·b=0赼⊥b,cos=a·b|a||b|,

|b||cos|=|a·b||a|,|a|2=a2,

|a·b|≤|a||b|,這樣一些讓幾何代數都受益的美餐都是由向量內積的這種“水化”和“氣化”功能烹調而成的.

a·b的這種“水化”“氣化”功能的實質，是向量a，b之間投影的運算，是我們通常把它稱之為a·b的幾何意義的那個實數值.

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