探究２００７年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試第三題的命制過程

徐章韜　楊　剛

2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試第三題：

設(shè)集合P={1，2，3，4，5}.對任意k∈P和正整數(shù)m,記f(m,k)=∑5i=1[mk+1i+1],其中[a]表示不大于a的最大整數(shù)，求證：對任意正整數(shù)n,存在k∈P和正整數(shù)m,使得f(m,k)=n.

我們通過考察一個有序的問題序列，看出這道試題的實質(zhì)是把給定的數(shù)集中的數(shù)按一定的方式排出順序，從而便于比較集合的勢，從而也看清楚了該題的命制過程.

問題1 有形如mk+1(m∈N*,k∈｛1,2,3,4,5｝)的數(shù)，試把它們逐一寫出來.

這個數(shù)集是個無限集，要不重不漏地寫出所有的數(shù)來，必須遵循一定的原則.可以按下列方式寫成數(shù)陣的形式.

這個數(shù)陣的特點是，每一行從左到右都是從小到大排列，每一列從上到下都是從小到大排列.按這種方式可以不重不漏地把所有的數(shù)都寫出來.

問題2 把上述數(shù)按從小到大的順序排列成一列，問63是第幾個數(shù)？

因為82>63>72,所以63之前且形如m2的數(shù)有7個.同理，在63之前且形如m3的數(shù)有6個（包括63本身），形如m4的數(shù)有5個，形如m5的數(shù)有4個，形如m6的數(shù)有4個，所以63是第7+6+5+4+4=26個數(shù).

問題3 把上述數(shù)按從小到大的順序排列成一列，問m3是第幾個數(shù)？

顯然，再不能用數(shù)數(shù)的方法了.一般性寓于特殊性之中，分析問題２的解決思路就行了.注意到７，6，5，4，4分別依次出在72，63，54，45，46中，也分別代表了不同形式且小于等于63的數(shù)的個數(shù).怎樣把7，6，5，4，4從中分離出來呢？只要依次分別除以2，3，4，5，6即可，雖然這樣做是可以的，但還要涉及除63以外的其它數(shù)，如72，4，45，46等.如何用含

mk+1是數(shù)陣中的第n個數(shù)，換言之，任意的n均可表示成形如∑5i=1[mk+1i+1]的形式.

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試第三題本質(zhì)就在于此，只不過更加形式化，不把相關(guān)式子賦與一定的意義就看不清實質(zhì).這道題蘊涵了把數(shù)集有序排列的思想，這是比較兩個集合的勢的大小的基礎(chǔ)，對中學(xué)生而言難度不小.通過研究試題的命制看出了問題的來龍去脈及實質(zhì)，從而化解問題的難度，解決了問題.解題與命題是一對矛盾，在教學(xué)中不妨試著站在命題者的角度想一想，這樣即使是高深的競賽試題，也能“飛入平常百姓家”.

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”