考查圓——小題向綜合題的轉化

2007年，如北京、廣東等17個省市的高考試題（文、理科共有14套試卷）中，在綜合題中對圓的有關知識內容進行了不同程度的考查.同2005年、2006年相比，明顯地加大了在綜合題中對圓的內容的考查力度.對圓的內容的考查，明顯體現出從小題向綜合題轉化的趨勢，具體體現在以下三個方面：

1 直接考查求圓的方程

考試說明中對圓的方程內容的考查，要求“掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程”.而圓的一般方程是以二元二次方程的形式體現，主要適用于代數運算方面.“掌握確定圓的幾何要素”，也就是確定圓心和半徑.圓的標準方程反映出圓的幾何特征——圓心和半徑，從而更容易寫出圓的標準方程，所以在考題中多數都是通過題設條件求出圓心和半徑的方法來求得圓的方程.如2007年北京卷（文科（19）、理科（17））題

矩形ABCD的兩條對角線相交于點M(2,0)，AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，點T(-1,1)在AD邊所在直線上.

（Ⅰ）求AD邊所在直線的方程；

（Ⅱ）求矩形ABCD外接圓的方程；

（Ⅲ）若動圓P過點N(-2,0)，與矩形ABCD的外接圓外切，求圓P的圓心軌跡方程.

根據題設條件，分析矩形圖形的有關性質，通過解兩直線方程組成的方程組求得圓心坐標，再利用兩點間的距離公式求出半徑，從而得出“矩形ABCD的外接圓”的標準方程.此題的前兩小問，將平面幾何中的一個重要而基本的圖形——矩形與圓結合起來，難度不大，但考查到的基礎知識卻不少.

類似地，如遼寧卷（文（21）、理（22））第1小問：“已知正三角形OAB的三個頂點都在拋物線y2=2x上，其中O為坐標原點，設圓C是△OAB的外接圓（點C為圓心）（Ⅰ）求圓的方程”.通過求出在拋物線上“以原點O為頂點的正三角形”的另外兩個對稱頂點的坐標，再結合正三角形外接圓的性質，求出三角形外接圓的圓心和半徑，最后由標準方程形式寫出所要求的圓的方程.比較北京和遼寧卷兩道解析幾何綜合題，一道題是求矩形外接圓的方程，另一道是求正三角形外接圓的方程，可謂是“形似且神似”般地“不謀而合”.

我們不妨再將全國卷Ⅱ（文（21）、理（22））和廣東卷（文（19）、理（18））拿出來比較一下：

（全國卷Ⅱ）在直角坐標系xOy中，以O為圓心的圓與直線x-3y=4相切.

（1）求圓O的方程；（2）圓O與x軸相交于A、B兩點，圓內的動點P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數列，求PA·PB的取值范圍.

（廣東卷）在平面直角坐標系xOy中，已知圓心在第二象限、半徑為22的圓C與直線y=x相切于坐標原點O.橢圓x2a2+y29=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.

（1）求圓C的方程；

（2）試探究圓C上是否存在異于原點的點Q，使Q到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長，若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

以上兩道考題中的第1小問，雖然都是以求圓的方程為目標且解題方法完全相同，但題設卻“似而不同”：全國卷Ⅱ是在已知圓心的條件下，通過直線與圓相切求半徑寫出圓的方程，廣東卷則是在已知半徑的條件下，通過“直線與圓相切于原點”求圓心坐標后寫出圓的方程.而安徽理科卷（19）題題設中，直接給出“以原點為圓心，以t（t>0）為半徑”，要求考生能寫出圓的方程并加以運用.因此，對于求圓的方程的考題，基本上都落在“確定圓的幾何特征——圓心和半徑”上，這也正符合高考考試說明的要求.

2 考查圓的性質、直線與圓以及圓與圓的位置關系

對于圓的內容，考試說明還要求：能根據給定直線、圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關系，能用直線和圓的方程解決一些簡單問題.07年各地高考題中，有13個省市的解析幾何綜合題對此進行了考查.如海南、寧夏卷（文科）、湖北卷（文、理）：

（海南、寧夏卷文（21））在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2-12x+32=0的圓心為Q，過點P（0，2）且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點A、B.

（Ⅰ）求k的取值范圍；（Ⅱ）是否存在常數k，使得向量OA+OB與PQ共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由.

湖北卷（理（19）、文（21））如圖，在平面直角坐標系xOy中，過定點C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p>0）相交于A、B兩點.

（Ⅰ）若點N是點C關于坐標原點O的對稱點，求△ANB面積的最小值；

（Ⅱ）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由（此題不要求在答題卡上畫圖）.

海南、寧夏卷第1小問除了考查圓的概念（已知圓的方程求圓心和半徑）外，還通過直線與圓相交來考查一元二次方程的有關知識，湖北卷則考查直線與圓相交構成的相交弦弦長問題.

類似地，山東卷（理（21）、文（22））第2小問中，因為題設條件“以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點D”，故AD⊥BDDA·DB=0進而轉化為坐標運算（也可用求圓的方程的方法求解）來考查圓的性質（直徑所對的圓周角為直角）.北京卷第3小問（（Ⅲ）若動圓P過點N（-2，0），且與矩形ABCD的外接圓外切，求動圓P的圓心的軌跡方程.）和遼寧卷第2小問都從不同角度對兩圓位置關系進行了不同層次的考查.

3 新課標地區對圓的內容的考查比重加大

在新課標的教學大綱中，對解析幾何的要求明顯降低，并且在解析幾何的教學要求上偏重于直線與圓的方程(要求“理解”和“掌握”)，而對圓錐曲線，即使理科，除了掌握圓、拋物線的意義及簡單性質外，其余只作“了解”要求.07年新課標地區的高考試題正是按新課標的要求命制的.2007年廣東等實施新課標教學的四省，高考文、理科共六套試題中，竟然有五套試題中的解析幾何綜合題是以考查圓為主或與圓相關，可見其比重之大.

對08年高考的啟示：由于高考綜合題對圓的內容的考查，其焦點集中在圓的方程、直線與圓以及圓與圓的位置關系上，且大都是中檔題，考查的知識與方法側重于最基礎的，所以建議高三復習時，只有采取“小題大作”，熟練在各種題設下求圓的方程的方法，掌握直線與圓、圓與圓位置關系的判斷，才能真正收到“大題化小，小題化了”的效果.

作者簡介 沈偉忠，出生于1963年9月，中學數學高教師，主要研究高、初中數學教學和數學競賽，主編《高中數學總攻略》（360多萬字，由汕頭大學出版社出版）等六部高中數學學習資料，參與編寫的書十多部.在各種數學專業雜志上發表數學論文100多篇.

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