２００８年高考數學解答題命題趨勢預測

王　勇

近幾年來，高考數學解答題一般為6個題，分別為三角題、概率題、導數題、立幾題、解幾題、壓軸題（代數型或幾何型），變一題把關為多題把關，前兩題一般難度稍低，最后四個題分別考查不同的內容，入口寬，但設置層層關卡，多層次、多角度地對考生進行四種能力的考查，用以區分考生靈活地運用知識和方法去分析和解決問題的能力.解答題都具有一定的綜合性，不是在某個單一知識點挖掘，而是注意多個知識點與方法的聯系與有機結合，在知識、方法網絡的交匯點處設計試題.下面分類預測六道解答題的命題趨勢并斗膽示例（限于篇幅，僅給出答案，解答過程從略）予以押猜，供研讀參考.

1 三角題——平平淡淡考功底

1．以“平面向量”進行包裝，實考三角函數的圖象和性質；

2．以“平面向量”進行包裝，實考三角形中的三角函數問題.

點評 本題由一道常見的題目巧妙改編而成，考查平面向量與三角函數的交匯，其中正弦定理、余弦定理、均值不等式等的參與，給本題增色添彩，堪稱一道優秀的創新題.

2 概率題——想說愛你不容易

1．理科題重點考查隨機變量的分布列與期望，互斥事件有一個發生的概率，相互獨立事件同時發生的概率，獨立重復事件的概率等，穿插考查合情推理能力和有關優化決策能力；

2．文科題主要考查古典概率，互斥事件的概率，獨立事件的概率，獨立重復事件的概率等，考查應用意識和實踐能力；

3．難度有所提升，考生應有心理準備.

示例3 （理）在一款網絡游戲中，每個玩家被賦予了一種“攻擊力”屬性（記為AT）.某玩家現在的AT值為100，他從該游戲官方網站的公告得知，在某處叢林里，有一群“外星怪獸”正在摧毀森林，他決定獨自去找這些“怪獸”一一戰斗.依游戲設定，以他目前的級別，在與這群“怪獸”的所有戰斗中，他獲勝的概率均為23，若不能獲勝，他總有機會“逃跑”.如果不能連續獲勝，則獲勝一場戰斗，他的AT值將加3；如果連續獲勝n場戰斗，則他在這n場戰斗中增加的AT值分別為3,4…,n+2(n∈N*），如果“逃跑”，則他的AT值不變.已知在他的級別提升之前，他總共與7只這樣的“怪獸”進行了戰斗.

（1）求他在這7次戰斗中獲勝3場的概率；

（2）如果已知他在這7次戰斗中獲勝了3場，求他現在的AT值的期望.

答案 （1）2802187；（2）110.

點評 本題以學生喜愛的游戲為背景，重點考查了獨立重復事件的概率、對立事件的概率、互斥事件的概率等，考查學生分析問題和解決問題的能力.還考查了隨機變量的分布列和數學期望，極富思考性、趣味性和挑戰性.

示例4 （文）現有分別寫有數字1，2，3，4，5的5張白色卡片、5張黃色卡片、5張紅色卡片.每次試驗抽一張卡片，對i=1,2,3,4,5作如下約定：

若取到一張寫有數字為i的白色卡片，則得i分，

若取到一張寫有數字為i的黃色卡片，則得i+1分，

若取到一張寫有數字為i的紅色卡片，則得i+2分.

（1）求得分為3分的概率；

（2）求得分大于3分的概率.

答案 （1）15；（2）35.

點評 本題考查互斥事件的概率加法公式，其中第（2）問所用的思想方法“正難則反”值得充分借鑒和回味.讀懂題目所給的約定是求解的關鍵.

3 導數題——代數推理好載體

1．將函數、方程、不等式與導數結合在一起，充分發揮導數的工具作用，應用導數研究函數的性質、方程根的分布、不等式的有關問題等，是新課程高考的重點和熱點問題，不可等閑視之;

2．文科題給出的是高次函數（兼考查導數的幾何意義），理科題給出的是對數函數、指數函數及復合函數.此類題型是考查考生代數推理能力的極好素材，倍受命題者的青睞！

示例5 （理）已知函數f(x)=ln(2-x)+ax在區間(0,1)上是增函數.

點評 本題將函數、數列、數學歸納法、不等式與導數結合在一起，充分發揮導數的工具作用.第（3）問通過舉反例否定命題的方法應切實掌握.

點評 本題應用導數研究函數的性質、曲線的切線、不等式等問題，是新課程高考的重點和熱點問題，敬請特別關注.

4 立幾題——傳統向量比法力

1．以柱體和錐體為載體全方位地考查立體幾何中的重要內容，如線線、線面與面面的位置關系、二面角問題、距離問題等，既有計算又有證明，一題多問，階梯排列;

2．此題一般既可用傳統方法解答，又可用空間向量處理，有的題是兩法兼用，可謂珠聯璧合，相得益彰！究竟選用哪種方法，要由自己的長處和圖形特征來確定;

3．“動態”探索性問題是近幾年高考立體幾何命題的新亮點，敬請特別關注.

圖1示例7 如圖1，已知四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠A=90°,AB∥CD且AB=12CD.

（1）在線段PC上求一點F，使BF∥平面PAD；

（2）若PA=AD，求二面角B-PC-D的大小；

（3）設PA=AD=2，CD=3,求A點到平面PBC的距離.

答案 （1）略；（2）90°；（3）33417.

點評 本題考查了直線與平面、平面與平面的位置關系，二面角的計算和點到平面距離的求法.基于題目中出現了三條互相垂直的線段，它是建立空間直角坐標系的“題眼”.本題第（1）問用幾何法求解較好，而第（2）、（3）問用空間向量方法求解較為簡捷，體現了兩種方法的活用.注意抓住空間向量方法的代數化、程序化特征，能降低思維量.

示例8 如圖2，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長都為a，P為A1B上的點.

（1）試確定A1PPB的值，使得PC⊥AB；

（2）若A1PPB=23，求二面角P-AC-B的大小；

（3）在(2)的條件下，求C1到平面PAC的距離.

圖2答案 （1）略；（2）60°；（3）12a.

點評 本題以正三棱柱為載體全方位地考查了立體幾何中的重要內容，如線面與線線的位置關系、二面角問題、距離問題等.考查的知識點豐富，是一道優秀的創新型試題.建立空間直角坐標系利用空間向量求解的思路和方法應熟練掌握，這樣可使思維程序化.

5 解幾題——精打細算合情理

1．平面向量與平面解析幾何都具有數與形結合的特征，在它們的知識點交匯處命題，正是高考命題的一大亮點;

2．考查直線與圓錐曲線的位置關系的問題是常考常新、經久不衰！解析幾何題一般來說計算量較大且有一定的技巧性（要求品出“幾何味”來），需要你“精打細算”是情理之中的事情.解析幾何題對你的意志品質和數學機智都是一種考驗和檢測;

3．涉及圓錐曲線的參數的取值范圍問題、最值問題、定值問題、對稱問題等綜合性問題是高考的常考題型.

示例9 定義離心率e=5-12的橢圓為“黃金橢圓”.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個焦點為F(c,0)(c>0)，P為橢圓E上的任意一點.

（1）試證：若a,b,c不是等比數列，則橢圓E一定不是“黃金橢圓”；

（2）設E為“黃金橢圓”，問：是否存在過點F,P的直線l與y軸的交點R滿足RP=-2PF？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由；

（3）已知橢圓E的短軸長是2，點S(0,2)，求使SP2取最大值時點P的坐標.

答案 （1）略；（2）滿足題意的直線不存在；

（3）點P的坐標為

點評 圓錐曲線在新課程高考中的要求不僅沒有降低，反而由于它可以與平面向量綜合在一起，還有所加強，因而常以把關題面孔出現.解答這類問題的關鍵是熟練掌握解析幾何的思想方法.在解答這類有一定難度的解答題時，要有信心，不言放棄，因為高考評分是“踩點得分”，你依據條件能寫多少，就盡量多寫，踩上得分點便有分數，如本題第（1）問是“送分上門”，棄而不答，令人惋惜！

圖4示例11 如圖4，已知點H(-3,0)，點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足HP·PM=0，PM=-32MQ.

（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；

（2）過定點D（m，0）（m>0)作直線l交軌跡C于A、B兩點，E是D點關于坐標原點O的對稱點，求證：∠AED=∠BED.

（3）在（2）中，是否存在垂直于x軸的直線l′被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

答案 （1）動點M的軌跡C是以O(0,0)為頂點，以(1,0)為焦點的拋物線（除去頂點）；（2）略；（3）當m>1時，滿足條件的直線l′存在，其方程為x=m-1；當0

點評 本題考查解析幾何中軌跡方程的求法、直線與圓錐曲線的位置關系等，其中第（3）問設計為一個探究性的問題，加大了題目難度，有較好的區分和選拔功能.

6 壓軸題——分段得分巧智取

1．壓軸題經常是將函數、數列、不等式、導數等有機地綜合，或將解析幾何和立體幾何等巧妙地交匯，構成一道超大型綜合題，體現了在“知識網絡交匯點處設計試題”的高考命題指導思想.貌似“龐然大物”，令人望而生畏！對許多考生來講是形同虛設，考試時經常是全題放棄，令人惋惜！要知道高考評分是“踩點得分”，要依據條件能寫多少，就盡量多寫，踩上得分點便有分數.正確的策略是“分段得分巧智取”！

答案 （1）單調遞增區間為(-∞,0]和[2,+∞)，單調遞減區間為[0,1)和(1,2]；（2）略；（3）略.

點評 本題以函數、數列為背景綜合考查函數、方程、導數、函數構造、導數的應用、不等式的證明以及分析問題、解決問題的能力. f(x)解析式的獲得是研究單調性的前提; 對于數列{a璶}通項公式的獲得又是解決(2)的前提;(3)的解決又需要以(2)的結論作為基礎.值得強調的是,(2)中的不等式為數列不等式,我們在處理時先是通過連續化,將其轉化為函數不等式,而函數不等式又借助于構造新函數,運用求導研究單調性的方法予以解決.

示例13 （文）對于函數f(x)，若存在x∈R，使f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動點，如果函數f(x)=x2+abx-c(b,c∈N*)有且只有兩個不動點0、2，且f(-2)<-12.

（1）求函數f(x)的解析式；

（2）已知各項不為零的數列{a璶}滿足4S璶·f(1a璶)=1，求數列{a璶}的通項公式；

（3）如果數列{a璶}滿足a1=4,a璶+1=f(a璶)，求證：當n≥2時，恒有a璶<3成立.

答案 （1）f(x)=x22(x-1)(x≠1)；

（2）a璶=-n；（3）略.

點評 本題以函數和數列為背景,綜合考查了方程、函數、數列、不等式等知識，具有一定的綜合性，在（3）中，我們用到了作差比較法，這實質上是證明不等式（或者比較大小）最基礎、最重要而且最常考的方法，這點應該引起文科考生的足夠重視.

圖5示例14 如圖5所示，A點是30°角的二面角α-l-β的半平面α內一定點，A到直線l的距離為3，過A作AB⊥l于B，O在BA的延長線上，且|AO|=1，平面α內有一點P到平面β的距離等于P到A點的距離. D點在直線AB上，AD=λAB(λ>0)，在α內過點D作AB的垂線m.

（1）建立適當直角坐標系，求P點的軌跡方程；

（2）是否存在過A點的直線MN，使它交P點的軌跡于M、N兩點，其中點S在直線m上的射影為R，且滿足MR·NR=0？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，則說明理由.

答案 （1）以O為原點，AB所在的直線為x軸建立直角坐標系，則P點的軌跡方程為x24+y23=1；（2）存在這樣的直線MN，只需13<λ≤12即可.

點評 本題重點考查了圓錐曲線的定義、直線與圓錐曲線的位置關系及解析幾何的基本思想方法.以二面角為背景設置問題，具有較強的新穎性和綜合性，難度較大.解答這類綜合性較強的解答題，首先不能有畏懼心理，事實上，越是綜合性強的題目所涉及到各部分的知識越淺顯，如本題所涉及到立體幾何知識非常簡單，只需利用二面角的知識得出P點到A點的距離等于P點到直線的距離的一半即可.一般地，在高考試題中，壓軸題都有一定的難度，解答這類難度較大題的原則是“不求拿滿分，力爭多得分”.

根據以上分析并結合2008年新考綱的變化和作者本人多年的經驗，預測2008年高考數學六道解答題的命題趨勢如下：

以平面向量與三角的交匯題或三角函數與解三角形的融合題開場——穩定考生情緒；概率與統計應用題助興——吊起考生胃口；立體幾何題（傳統方法與向量方法任選）平穩過渡——考生志在必得；導數與函數題率先發難——考生騎虎難下；解析幾何題把關——考生面臨考驗；數列、不等式、函數等的大型綜合題壓軸——考生盡早了斷（放棄、分段得分或強攻）！

作者簡介 見本刊2008年第3期

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