激趣——一道簡單應用題及其變式的妙用

朱鳳鳴　賈春輝

在高中數學學習中，應用題讓很多學生感到頭痛.在教學中，如果老師善于發現應用題的妙處，那么不但不會讓學生頭痛，反而會激發他們無窮的學習樂趣.筆者在教學過程中就發現并重新設計了一道這樣的例題，并在教學中適時進行鼓勵性評價，取得了很好的教學效果.

例題 某商場將進價8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件.現采用提高售價的方法增加利潤.已知售價每提高1元，銷售量就要減少5件，問售價定為多少元（整數）時，才能使每天所賺的利潤最大？

這是在高一新生初入學，進行初高中銜接時用到的一道例題.題目難度不大，我首先讓學生自己動手求解.很快很多學生就使用下面的方法給出正確答案：

解法1 設將售價定為x元，每天所賺利潤為y元，則

即售價19元時利潤最大，為605元.

評價 問什么，設什么.這種思路比較常用，很好.

提出問題：有沒有什么其它的方法可以求解？有沒有其它設法？

經過一段時間的思考，不少學生想出了下面的方法：

解法2 設將售價提高x元，每天所賺利潤為y元，則

即售價提高9元，售價19元時利潤最大，為605元.

評價：稍加變化.這種變化使計算簡單，好.

還有少數同學使用下面的方法：

解法3 設提價后每件利潤為x（x>2）元，每天所賺利潤為y元

所以每件利潤為11元，即售價19元時利潤最大，為605元.

發現：使用這種設法的同學，大多在銷售量的計算上出現了問題.

評價：非常好的想法！但是這種方法計算銷售量比較困難，需要縝密思考.

經過上面的多種設法、一題多解的教學過程，因為學生在此過程中都想出了方法，得到了肯定和表揚，很急切地想繼續做題.于是我展示了下面兩個變式，只改變了其中一個數字，要求使用第一種設法求解.

變式1 某商場將進價8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件.現采用提高售價的方法增加利潤.已知售價每提高1元，銷售量就要減少6件，問售價定為多少元（整數）時，才能使每天所賺的利潤最大？

解法 設將售價定為x元，每天所賺利潤為y元，則

即售價17元時利潤最大，為522元.

變式2 某商場將進價8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件.現采用提高售價的方法增加利潤.已知售價每提高1元，銷售量就要減少4件，問售價定為多少元（整數）時，才能使每天所賺的利潤最大？

解法 設將售價定為x元，每天所賺利潤為y元，則

即售價21或22元時利潤最大，為728元.

解題情況：學生解決這兩個問題比較順暢，但是因為對二次函數的圖象和性質了解不深，有些學生在取哪個整數的問題上存在爭議.我沒有給學生講二次函數的性質，而是通過將數代入檢驗進行判斷取哪個整數.

提出思考：

思考1 變式1中，1713介于17、18之間，為什么是17而不是18？能不能說出其中的數學道理？

思考2 變式2中，2112介于21、22之間，為什么利潤相同？能不能說出其中的數學道理？

思考3 例題、變式1、變式2三種情況下利潤分別是605元、522元、728元，什么因素導致了它們大小不同，其中的現實理由是什么？

思考4 變式2中，如果現實中你是商場經理，在同樣利潤的情況下，你會將價格定在21元還是22元？

思考1、2、3很順利就解決了，原來存在疑問的學生也都明白了，而且總結出求二次函數最值的一般結論.

在思考4中出現了戲劇性的一幕：

在沒經過太長時間思考的情況下，絕大多數同學選擇將價格定在21元，只有一位同學堅持定價22元.

我先問為什么把價格定在21元，

“我可以讓更多需要這種商品的人得到它”；

“我薄利多銷…”

沒等這位同學說完，那位定價22元的同學忍不住站起來說：“你薄利多銷有什么用？又不多賺錢.我雖然賣的少，但是我成本會低，還會省下運費和時間，實際上我賺得更多！”

評價：我欣賞定價21元同學的心靈，同時我佩服定價22元同學的頭腦.

后來，這位同學有了一個綽號，叫“奸商”；這個“奸商”在下一次的期中考試數學成績從班級40多名躍居第三，并且一直很穩定；這個班的同學從此很喜歡學習數學，成績一直很好.

這就是興趣的力量，興趣的培養和激發來自日常教學的點點滴滴.

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”