用遞推數列解決兩類問題

通過確立序列得到相鄰各項之間的一般關系以及初始值來確定通項或整個序列的思想稱為遞推思想.適用于定義在自然數集上的一類函數，它不僅是得到數列通項公式的重要方法，更是解決數學問題的一種重要思想.以排列、組合為背景的大多試題往往具有題意簡潔、趣味性較強的特點，能更好地考查學生運用數學知識解決實際問題的能力.本文就利用遞推關系解決這樣的兩類問題：一是有關“傳球方法數”的一般計數方法；二是有關“錯裝信封”的概率求法.

問題1 甲、乙、丙三人練習傳球,當球從某人手中傳到另一人手中時,稱為一次傳球,但不能自己傳給自己. 從甲開始,傳球5次后,球仍回到甲手中,共有多少種不同傳球方法?

分析 由于所涉及傳球次數較小,故利用枚舉法最適合;但是不利于發現一般的結論,因此本文對第二次接球的人是否為甲進行分類討論,從而找到相鄰兩次傳球之間的遞推關系.

解 形如甲×甲××甲型傳球有2×2=4種；形如甲×乙××甲型傳球有1+2=3種；形如甲×丙××甲型傳球有1+2=3種；故共有10種不同傳球方法.

評注 上述解法利用甲×甲和甲×#(#:表示這次接球的人不是甲)把5次傳球降為3次傳球問題.利用同樣的思路我們可以得到如下傳球n次的一般計數方法.

【傳球問題】 包含甲、乙在內的m(m≥3)個人練習傳球,設傳n球次,當球從某人手中傳到另一人手中時,稱為一次傳球,但不能自己傳給自己.

Ⅰ.球首先從甲手中傳出,經過n次傳球后,仍回到甲手中,共有多少種不同方法?

Ⅱ.球首先從乙手中傳出,經過n次傳球后,傳到甲手中,共有多少種不同方法?

分析 由于經過n次傳球后要求回到甲手中與經過n-2次傳球后的情形有比較密切的關系,故我們可以先尋找它們之間的遞推關系.

解 a璶表示球首先從甲手中傳出, 經過n次傳球后,仍回到甲手中的方法種數；

b璶表示球首先從乙手中傳出, 經過n次傳球后,傳到甲手中的方法種數；

由上述記法,易知球從除甲之外的任何一人手中傳出,經過n次傳球后,傳到甲手中的方法種數均為b璶.

一方面,對每個傳球的人來說,每次傳球的方法有(m-1)種,所以經過n次傳球后,傳到甲手中的方法種數為(m-1)n.而經過n次傳球后,傳到甲手中有以下兩類情形：一類是球從甲手中傳出,共有a璶種方法;另一類是球從非甲手中傳出,共有C1璵-1·b璶種,故有等式(m-1)n=a璶+(m-1)·b璶①

另一方面a璶種方法,又可以分為以下兩種情形:

第一種甲經過2次傳球后,回到甲手中,形如 甲×甲……則共有C1璵-1·a璶-2；

第二種甲經過2次傳球后,未回到甲手中,形如 甲××……則共有A2璵-1·b璶-2；

故又有等式a璶=(m-1)a璶-2+(m-1)(m-2)b璶-2…………②聯立①②可得

a璶=a璶-2+(m-2)(m-1)n-2，即a璶-a璶-2=(m-2)(m-1)n-2且a1=0,a2=m-1，由累加法易得:

當n為偶數時a璶-a2=(m-1)n-(m-1)2m

當n為奇數時a璶-a1=(m-1)n-(m-1)m,故有a璶=(m-1)n+(-1)n(m-1)m代入①式得b璶=(m-1)n-(-1)nm.

問題2 某人給4位朋友寫信,寫好4封信與4枚信封后,交給秘書,求粗心的秘書把所有的信裝錯了信封的概率是多少?

分析 A、B、C、D表示寫給4位朋友的信封;與之對應的4封信分別用小寫的a、b、c、d表示.由枚舉法容易得到所有的信裝錯了信封共有9種情形.

解 不妨設a裝進B信封,此時裝信工作分為以下兩類:

一是b裝進A信封,有1種情形;二是b不裝進A信封,有2種情形.故a裝進B信封共有3種情形,同理可知c或d裝進B信封也各有3種情形,因此4封信都裝錯了信封的概率為: P4=94!=924=38

評注 利用上述解法的思路可以得到如下更為一般情形的概率算法.

【錯裝信封問題】 某人給n位朋友寫信，寫好了n枚信封與n封信后，交給粗心的秘書，求所有的信裝錯了信封的概率是多少？

分析 由題意易知,錯裝n封信的前提一定要保證前面的n-1封信必須裝錯,故錯裝n封信的情形與錯裝n-1、n-2封信的情形有較密切的關系,所以應先尋找他們之間的關系式.

解 A、B、C、D……表示寫給n位朋友的信封;與之對應的n封信分別用小寫的a、b、c、d……表示.a璶表示n封信中沒有一封配對的裝法種數；則P璶=a璶n!表示“所有的信都裝錯了信封的概率”.

不妨設a裝進B信封,可以分為以下兩類:

鞏固練習：

1．甲、乙、丙三人練習傳球，從甲開始，問傳球6次后仍傳給甲的方法數是多少?

2．甲、乙、丙三人練習傳球，從乙開始，問傳球6次后傳給甲的方法數是多少?

3．甲、乙、丙、丁四人練習傳球，從甲開始，問傳球5次后仍傳給甲的方法數是多少?

4．甲、乙、丙、丁四人練習傳球，從乙開始，問傳球5次后傳給甲的方法數是多少?

5．某人給5位朋友寫信,寫好5封信與5枚信封后,交給秘書,求粗心的秘書把所有的信裝錯了信封的概率是多少?

6．某人給6位朋友寫信,寫好6封信與6枚信封后,交給秘書,求粗心的秘書把所有的信裝錯了信封的概率是多少?

參考答案:

有關排列、組合這一章內容在高考所占比重不大,但試題一般都以實際應用題形式出現,主要考查學生運用數學知識解決實際問題的能力,還能較好區分出學生的思維品質；而且試題都具有一定的靈活性、機敏性和綜合性，在“倡導創新體系，提倡素質教育”的今天,本章考題是最好的體現.通過對一些趣味性較強且具有一定規律性的問題進行歸納總結,一是有利于激發學生研究問題的興趣；二是提倡學生自主學習,對于一些問題能做到事半功倍之效.

參考文獻

[1] 賈鳳山.《走向高考》, 人民日報出版社,2007,4.

[2] 顏培強. 利用遞推思想解決計數問題[J]. 中學數學雜志,2004,3.

[3] 鄒明.一類染色問題的計數公式[J]. 中等數學 ,2005,1.

作者簡介 劉華湘,男,1979年3月生于福建省龍巖市.2002年畢業于福建省廈門市集美大學師范學院數學系,畢業后至今一直任教于福建省晉江市養正中學.

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