多元函數(shù)最值問題求解策略

張小臣

多元函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的重要概念之一，隨著新課程的改革，高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)知識的銜接，多元函數(shù)的值域與最值問題在全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽和高考中頻頻出現(xiàn).本文就高中階段常見多元函數(shù)最值問題的求解策略作一闡述.

1 多元函數(shù)的定義及有關(guān)概念

定義1 平面點集：建立了坐標系的平面稱為坐標面.二元有序?qū)崝?shù)組(x, y)的全體, 即R2=R×R={（x,y)|x,y∈R}——坐標面.坐標平面上具有某種性質(zhì)P的點的集合, 稱為平面點集,記作E={(x,y)|(x,y)具有性質(zhì)P}.

定義2 設(shè)D是xoy平面上的點集, 若變量z與D中的變量x,y之間有一個依賴關(guān)系,使得在D內(nèi)每取定一個點P(x,y)時, 按著這個關(guān)系有確定的z值與之對應(yīng), 則稱z是x，y的二元(點)函數(shù).記為z=f(x,y)（或z=f(P)）.稱x,y為自變量,稱z為因變量,點集D稱為該函數(shù)的定義域,數(shù)集{z|z=f(x,y),(x,y)∈D}稱為該函數(shù)的值域.

定義3 類似地，可定義“n維空間”、“n元函數(shù)”.二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).

2 多元函數(shù)最值問題求解策略

1.減元法：根據(jù)化歸思想的理論可嘗試將多元函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元函數(shù)來處理，可通過換元、不等式放縮技巧、題中條件等式等途徑實現(xiàn).

（1）通過換元減元：

說明：本題的第二小題，我們常見的解法是將三角形的面積S表示為直線斜率k的函數(shù)，再求這個一元函數(shù)的最值，運算繁瑣.這里運用了二維柯西不等式 (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)（當且僅當ac=bd時取等號）來求簡潔明了.

參考文獻

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