從一道概率題透析楊輝三角的應用

于發智

2008年深圳一模數學（理科）第17題：將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落．小球在下落的過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是1/2．

（Ⅰ）求小球落入A袋中的概率P(A)；

（Ⅱ）在容器入口處依次放入4個小球，記ξ為落入A袋中的小球個數，試求ξ=3的概率和ξ的數學期望Eξ．

這是一道典型的以楊輝三角為背景的概率應用問題．

對于楊輝三角的構成，還可以有一種有趣的看法．

圖1如圖1，在一塊傾斜的木板上釘上一些正六角形的小木塊，在它們中間留下一些通道，從上部的漏斗直通到下部的長方框子. 把小彈子倒在漏斗里，它首先會通過中間的一個通道落到第二層六角板上面，以后，落到第二層中間一個六角板的左邊或右邊的兩個豎直通道里去．

再以后，它又會落到下一層的三個豎直通道之一里面去. 這里，如果要彈子落到最左邊的通道里，那么它一定要是從上一層的左邊通道里落下來的才行（1個可能情形）；同樣，如果要它落在最右邊的通道里，它也非要從上一層的右邊通道里落下來不可（1個可能情形）；至于要它落在中間的通道里，那就無論它是從上一層的左邊或右邊落下來的都可以（2個可能情形）．

這樣一來，彈子落在第三層（有幾個豎直通道就算第幾層）的通道里，按左、中、右的次序，分別有1，2，1個可能情形. 不難看出，在再下面的一層（第四層），左、右兩個通道都只有1個可能情形（因為只有當彈子是從第三層的左邊或右邊落下來時才有可能）；而中間的兩個通道，由于它們可以接受從上一層的中間和一邊（靠左的一個可以接受左邊，靠右的一個可以接受右邊）掉下來的彈子，所以它們所有的可能情形應該分別是第三層的中間和一邊（左邊或右邊）的可能情形相加，即3個可能情形. 因此第四層的通道按從左到右的次序，分別有1，3，3，1個可能情形．

照同樣的理由類推下去，我們很容易發現一個事實，就是任何一層的左右兩邊的通道只有一個可能情形，而其他任何一個通道的可能情形，等于它左右肩上兩個通道的可能情形相加. 這正是楊輝三角組成的規則. 于是我們知道，第n+1層通道從左到右，分別有1，C1璶，C2璶,……,Cn-1璶,1個可能情形．

我們還可以這樣來看上面的結論：如果在傾斜板上做了n+1層通道，從頂上漏斗里放下1+C1璶+C2璶+…+Cn璶+1顆彈子，讓它們自由地落下，掉在下面的n+1個長方框里. 那么分配在各個框子中的彈子的正常數目（按照可能情形來計算），正好是楊輝三角的第n+1行. 注意，這是指“可能性”而不是絕對如此. 這種現象稱為概率現象．

點評 本題考查學生的知識遷移能力、化簡變形能力和觀察問題分析問題的能力．要從表中看出其中的規律是：每一行中的每一個數為其“腳下”兩數的和．第二問的關鍵是進行裂項求和.

“楊輝三角”型數列創新題是近年高考創新題的熱點問題.求解這類題目的關鍵是仔細觀察各行項與行列式的對應關系，通常需轉化成一階（或二階）等差數列結合求和方法來求解．

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