圓臺(tái)體積估算法的依據(jù)論證

申　錦

在賣木材時(shí)，木材商在估算樹的體積時(shí)，并沒(méi)有量出兩端的半徑，而是量取某一高度時(shí)樹的外圍周長(zhǎng)，簡(jiǎn)便的算出體積.例如4m長(zhǎng)的樹，在距大端高1.4m處量出外圍周長(zhǎng)，再按圓柱體積公式得出體積.而這種算法，往往與實(shí)際結(jié)果相差很小.那么，這是什么原因呢？

我們把它簡(jiǎn)化為數(shù)學(xué)模型處理.如圖所示:

兩端半徑為R和r的圓臺(tái)（R>r），高度為h，由圓臺(tái)體積公式可知：

通過(guò)以上推導(dǎo)我們可以看出，在距大端高為(1-33)h=0.4226h時(shí)測(cè)出圓臺(tái)外圍周長(zhǎng)得出體積，不論兩端半徑為多少，誤差總在一定范圍里，且半徑比為2.73時(shí)誤差達(dá)最大值7.18%.因此這樣估算是有一定道理的.當(dāng)樹高為4m時(shí)，應(yīng)在0.4226×4=1.7m處測(cè)量.這種算法有較好實(shí)際意義.若仔細(xì)去測(cè)量?jī)啥税霃剑M(fèi)時(shí)費(fèi)勁.這種算法則簡(jiǎn)易可行，有較好實(shí)際意義，故被木材商廣泛采用.有趣的是，由于誤差大于零，估算體積會(huì)偏大，木材商是肯定可以賺上一筆的.

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