概率的公理化定義及其確定方法

劉艷麗

隨著中學教材改革的深入，許多原來只在大學教材中才出現的一些概念現在已經出現在中學教材中.但是，由于中學教材的難度的限制，很多概念和方法并沒有象大學教材中敘述的那么系統、嚴格.本文主要針對概率的定義及其確定方法進行歸納總結.

1 概率的公理化定義

在概率論的發展史上，曾經有過概率的古典定義、概率的幾何定義、概率的頻率定義和概率的主觀定義，這些定義各適合一類隨機現象.為了給出適合一切隨機現象的概率的最一般的定義，前蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫在1933年提出了概率的公理化定義，該定義既概括了上述幾種概率定義的共同特性，又避免了各自的局限性和含混之處.

概率的公理化定義刻畫了概率的本質，概率是集合（事件）的函數，對給定的樣本空間圖笆錄域F，若定義在F上的函數滿足上述三個條件，就被稱為概率.

概率的公理化定義沒有告訴人們如何去確定概率，它只是規定了概率應該滿足的性質.歷史上在公理化定義出現之前的概率的古典定義、幾何定義、頻率定義和主觀定義都在一定的場合下給出了各自的確定概率的方法，因此在有了概率的公理化定義之后，把它們看作確定概率的方法是恰當的.

2 確定概率的古典方法

確定概率的古典方法是概率論歷史上最先開始研究的情形，它簡單、直觀，不需要做大量重復試驗，只是在經驗事實的基礎上，對被考察事件的可能性進行邏輯分析后得出事件的概率.它的基本思想如下：

（1）所涉及的隨機現象只有有限個結果，即樣本空間橢兄揮杏邢薷鲅本點，設為n；

（2）每個樣本點發生的可能性相等（稱為等可能性）；

（3）若事件A含有k個樣本點，則事件A的概率為

P(A)=事件A所含樣本點的個數橢興有樣本點的個數=kn.

容易驗證，由上述方法確定的概率滿足概率的公理化定義，這種概率模型通常稱為古典概型.用古典方法求概率的關鍵是計算樣本空間所包含的點的個數和事件A所含的樣本點的個數.在我們日常生活中經常遇到可以用古典方法解決的問題，如下例：

例1 設有一張電影票，甲、乙、丙三個人都想得到它，現抽簽決定三人由誰得到這張電影票.設三張簽分別標號為1、2和3，甲、乙、丙三個人各抽取一張，抽到標號為1的人得到電影票.證明這種抽簽方法是公平的.

證明 這是一個典型的古典概型問題.用A表示甲得到這張電影票，則甲、乙、丙三人抽簽的結果共有6種可能，并且每種結果出現的可能性都是16，滿足古典概型的條件.由于事件A含有2個樣本點，因此事件A的概率為P(A)=26=13，即甲得到這張電影票的概率為13.同理可得，乙和丙得到這張電影票的概率也都是13，因此，三人得到這張電影票的概率相等，這說明抽簽方法是公平的.

實際生活中抽簽的例子比比皆是，很多人在抽簽時都搶著先抽，因為他們知道，一旦前面的人抽到了，后面的人就抽不到或者抽到的機會就變小了，這些人通常不會想到：如果前面的人沒有抽到，后面的人抽到的機會會變大，因此，總的機會是相等的，這其中包含著條件概率的思想.而由前面的例子知道，無論先抽后抽，抽到的概率都是相等的.

古典方法的局限是它只適用于樣本空間中只有有限個樣本點的情形，下面的幾何方法適用于樣本空間有無限個樣本點的情形.

3 確定概率的幾何方法

幾何概率是日常生活中另一種常見的概率模型，其基本思想是：

由上述方法確定的概率稱作幾何概率，它也滿足概率的公理化定義.求幾何概率的關鍵是對樣本空間禿褪錄嗀用圖形描述清楚（一般用平面或者空間圖形），然后計算出相關圖形的度量（一般為面積或者體積）.

雖然幾何方法能夠處理樣本空間有無限個樣本點的情形，但是它同樣要求某種“等可能性”，有時對“等可能性”的不同理解會得到不同的答案，從而會出現自相矛盾的情形，著名的“貝特朗悖論”就是大家熟知的一個例子.下面這個例子是我在教學中遇到的一個類似于“貝特朗悖論”的例子.

例2 如圖，從等腰直角三角形的直角頂點C任作一條射線交斜邊AB于點D，求AD的長度小于AC的長度的概率.

解法一 由于射線CD可以由點C和∠ACD唯一確定，從直角頂點C任作一條射線可以理解為∠ACD的取值在閉區間[0°,90°]上是“等可能的”，而AD的長度小于AC的長度當且僅當∠ACD的取值落在區間[0°,67.5°)內，從而AD的長度小于AC的長度的概率為P1=67.590=0.75.

解法二 設三角形ABC的直角邊AC長為a，則斜邊AB長為2a.由于射線CD可以由點C和D唯一確定，從直角頂點C任作一條射線可以理解為點D在斜邊AB上的分布是“均勻的”，即線段AD的長度取值在區間[0,2a]上是“等可能的”，而AD的長度小于AC的長度當且僅當AD的長度取值落在區間[0,a)內，從而AD的長度小于AC的長度的概率為P2=a2a=22.

由例2可以看出，處理幾何概率題目的難點是對“等可能性”的理解.由于高中學生在初學幾何概率時還沒有深刻理解“等可能性”的內涵，因此，老師在處理那些類似于“貝特朗悖論”的題目時一定要慎重，最好在開始時避免在學生的練習和作業中出現這類題目，要等到時機成熟以后再講這類題目，以加深學生對“等可能性”的內涵的理解.

4 確定概率的頻率方法

頻率方法也是確定概率的一種常用方法，其基本思想是：

（1）與所考察事件A有關的隨機試驗可以大量重復進行；

（2）在n次重復試驗中，記n(A)為事件A出現的次數，稱n(A)為n次重復試驗中事件A的頻數，稱f璶(A)=n(A)n為事件出現的頻率；

（3）隨著試驗重復次數n的增加，f璶(A)會穩定在某一常數p附近，稱這個常數為頻率的穩定值，這個頻率的穩定值就是所求事件A的概率.

根據概率極限理論，當n趨向于無窮時，f璶(A)會以概率1收斂到相應的概率p.可以驗證，用上述方法確定的概率也滿足概率的公理化定義.頻率方法的優點是它不需要象古典方法和幾何方法那樣要求某種“等可能性”，人們只需要多次重復試驗即可.但是，由于人們不可能把一個試驗無限次的重復下去，因此要精確獲得頻率的穩定值是困難的，通常只能獲得概率的一個近似值.

例3 拋硬幣試驗.歷史上有不少人做過拋硬幣試驗，其結果如下表.

試驗者拋硬幣次數出現正面次數頻率De Morgan2 0481 0610.518 1Buffon4 0402 0480.506 9Feller10 0004 9790.497 9Pearson12 0006 0190.501 6Pearson24 00012 0120.500 5 在很多概率題目中，會出現“均勻硬幣”、“均勻骰子”之類的字樣，如：拋擲一枚均勻的硬幣5次，求出現2次正面的概率.這類問題可以用古典方法求相應的概率.由于假設硬幣是均勻的，因此每拋擲一次硬幣，出現正面的概率都是0.5.但是，在現實生活中，“均勻”只是一種理想的假設，不會存在絕對“均勻”的硬幣.先不說上面表格中的試驗者用的是否是同一枚硬幣，即使假設他們用的是同一枚硬幣，那么拋擲一次這枚硬幣出現正面的概率應該是多少？是0.5，還是平均值（0.5181+0.5069+0.4979+0.5016+0.5005）/5＝0.505，亦或是中位數0.5016呢？通常大家會選0.5作為一個近似值.如果他們用的不是同一枚硬幣，那么我們估計這個概率就沒有意義了，因為拋擲不同的硬幣出現正面的概率通常是不同的，此時我們只能得到拋擲這些硬幣得到正面的各自不同的概率的近似值.

5 確定概率的主觀方法

在現實世界里有一些隨機現象是不能重復或者不能大量重復的，它們也不具有某種“等可能性”，因此不能用上面的三種方法確定有關事件的概率，這時我們應該怎么確定其概率呢？

統計界的貝葉斯學派認為：一個事件的概率是人們根據經驗對該事件發生的可能性所給出的個人信念.這樣給出的概率稱為主觀概率.如在氣象預報中常常會說：“明天下雨的概率是25％”，這是氣象專家根據氣象專業知識和最近的氣象情況給出的主觀概率.

由于主觀給定的概率沒有明確的公式，因此，確定主觀概率時要使其符合公理化的定義.

主觀概率和主觀臆造有著本質的不同，前者要求當事人對所考察的事件有透徹的了解和豐富的經驗，并能對歷史信息和當時的信息進行仔細分析，如此確定的主觀概率是可信的.用主觀方法得出的概率本質上是對隨機事件概率的一種推斷，其精確性有待實踐的檢驗和修正，但結論的可信性在統計意義上是有其價值的.在遇到的隨機現象無法大量重復時，用主觀方法去做決策和判斷是適合的.因此，主觀方法是頻率方法的一種補充.

以上是對概率的公理化定義及其確定方法的總結，教師應該在教學中與現實生活結合起來，靈活運用，加深學生對概率定義及其確定方法的理解.

參考文獻

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[3] 魏宗舒等著. 概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，1983

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