抓住新教材的“閃光點”

在蘇教版（江蘇?。?005年的普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-1中選錄了常用邏輯用語這一章節，教學內容與人教版2000年全日制普通高級中學教科書數學第一冊（上）中選錄的簡易邏輯這一節相對應，其中新教材添加全稱量詞與存在量詞這一節內容.本人通過這兩套教材的教學經歷，發現新教材所添設的全稱量詞與存在量詞這一節內容是新課程在簡易邏輯這一章節中內容變化的一個亮點，它的出現使學生能比較方便的解決以往思維上對某些復雜命題的判斷上產生的疑惑，也幫助了我們教師更能從容地培養學生完善的邏輯思維.

案例：在去年，本人聽了一節高三（江蘇省人教版教材的最后一屆高三，恰逢新課程第二屆開始）一輪復習課，復習內容是簡易邏輯.在課堂教學進程中，教師舉了一個例子：

例題：寫出a>1a2>1的逆命題、否命題、逆否命題以及每一個命題的否定，并判斷其真假.學生很快回答并由老師在黑板上寫出了如下結果：

（1）原命題：a>1a2>1，

命題的否定：a>1a2≤1；

（2）逆命題：a2>1a>1，

命題的否定：a2>1a≤1；

（3）否命題：a≤1a2≤1，

命題的否定：a≤1a2>1；

（4）逆否命題：a2≤1a≤1,

命題的否定：a2≤1a>1；

下面絕大部分學生判斷以上每個命題的真假，

（1）原命題：a>1a2>1， 真

命題的否定：a>1a2≤1； 假

（2）逆命題：a2>1a>1， 假

命題的否定：a2>1a≤1； 假

（3）否命題：a≤1a2≤1， 假

命題的否定：a≤1a2>1； 假

（4）逆否命題： a2≤a≤1, 真

命題的否定：a2≤1a>1； 假

教師對此結果似乎也比較滿意，準備進入下一個例題，這時，班上一位眼尖的學生發現了問題，于是提問：“（2）、（3）中命題與命題的否定形式怎么會同假，這和p與非p的真值表相矛盾了嘛，不是說p真的話非p就假，p假的話非p就真啊.”其他學生也開始有了困惑，這位教師（沒有教過新教材）也發現了是有問題，但作為多年在高三教學應變能力還是有的，于是他開始引導學生就這一問題進行分組合作討論.最后有一小組得到這樣一個結果：

（2）逆命題：a2>1a>1應該看成p或q的命題形式，即為“a>1或a<-1a>1”，最終形式為“a>1a>1或a<-1a>1”應該是真命題，這樣就解決了矛盾. 但是，立刻有另外的小組起來反對：“按照這個思路，那么（2）的否定形式a2>1a≤1也可以看作p或q的命題形式，即為“a>1a≤1或a<-1a≤1”也是真命題啊，那不又都是真命題了嗎，況且用這個方法也無法為（3）自圓其說啊.”

經過這樣一番周折，已近下課，任課教師只能草草收場，準備在以后的教學過程中再來解決這個問題.應該說我們的學生是非常善于思考的，就這一問題看，學生有發現、有創造、也有疑惑.那么為什么會發生這種情形呢，難道是我們的邏輯體系有問題，導致了悖論，是在命題判斷上有問題，還是這個例子本身有問題？

反思一：由于我們數學教師受專業影響，總喜歡最好全部用數學符號來替代我們的語言表述，造成了黑板上呈現的數學表達式給大家帶來理解上的歧義.這個命題的提出，實質上是含有全稱量詞和存在量詞的命題.正確的表述形式及判斷如下：

（1）原命題：衋>1a2>1， 真

命題的否定：鯽>1a2≤1； 假

（2）逆命題：衋2>1a>1， 假

命題的否定：鯽2>1a≤1； 真

（3）否命題：衋≤1a2≤1， 假

命題的否定：鯽≤1a2>1； 真

（4）逆否命題：衋2≤1a≤1, 真

命題的否定：鯽2≤1a>1； 假

這樣表述就不會發生自相矛盾，實際上，在老教材的簡易邏輯教學過程中，對于“a2>1a>1”這種書寫形式我們絕大部分數學教師都寫過，包括現在也是，我們學生包括一般人都會自然地理解為“對于任意的、所有滿足a2>1的a能推出a>1”，而對于它的否定，又同時會錯誤地理解為“對任意的、所有滿足a2>1的a推出a≤1”，導致“悖論”，引起學生困惑.這不足為奇，因為老教材沒有提出量詞的概念，我們教師在教學中一般會回避此類問題，老高考中也回避了數學邏輯體系有時會與我們中文語言理解發生歧義的情況.通過這個案例，我們可以看到，新教材就這一內容的完善，根除了數學邏輯體系與中文語言理解發生歧義的情況，用量詞來完善中學階段的簡易邏輯體系，有助于學生更透徹地理解教學內容，有助于他們解決問題，并不致發生歧義.

反思二：其實，這個案例，我們還可以從另外一個角度去理解：

（1）原命題：鯽>1a2>1， 真

命題的否定：衋>1a2≤1； 假

（2）逆命題：鯽2>1a>1， 真

命題的否定：衋2>1a≤1； 假

（3）否命題：鯽≤1a2≤1， 真

命題的否定：衋≤1a2>1； 假

（4）逆否命題：鯽2≤1a≤1， 真

命題的否定：衋2≤1a>1； 假

現在大家可以看到，對于“a>1a2>1”學生在理解和判斷上沒有什么問題，但它的變換命題就有可能使學生在理解上產生歧義；對于“衋>1a2>1”和“鯽>1a2>1”命題本身以及它們的變換命題，學生在理解上就不會產生困惑了，這就是量詞作出的貢獻.

反思三：那么，高三的這節復習課提出這樣的例題是否恰當呢？這還是要辯證地來看；應該說這個例題引起了大部分學生的思考，帶來了困惑，以此也激發了學生的探究精神，這是好的一面，當然，由于老教材中沒有全稱量詞和存在量詞的教學內容，針對高考，那么在這提出此類命題的否定形式確實是不恰當的，可以在研究性學習中進行.

反思四：由于我們的學生有著應試的壓力，因此我們大部分數學教師在教學過程中只是通過大量的例題、習題讓學生去簡單機械的“學會”判斷命題的真假，“學會”表述四種命題的形式，“學會”判斷兩個命題之間充要條件方面的關系，以應付解題.學生對簡易邏輯在邏輯學的知識背景上缺乏了解，在邏輯上的一些常用的邏輯判斷詞、聯結詞、量詞上經常會產生西方邏輯學與我們東方邏輯語言語境上的一些“沖突”，使他們在這一章節內容上的理解是不深刻的、模糊的.

蘇教版新教材在簡易邏輯內容上作出的新的安排及改進，比起老教材是一大進步，它根除了以往教學過程中可能出現的歧義，把語言和符號完美地結合在一起，完善了中學階段的邏輯體系，很好地解決了教師以往回避的問題.從今年開始，我們所有學生都進入了新課程，為了學生能比較輕松的學好這一段內容，我想我們教師可以做到以下幾點：

建議一：我們自身學習的同時可以給學生介紹一下邏輯學的數學歷史背景.邏輯學是一門古老而又年輕的科學.中國的名辯、印度的因明、西方的邏輯，三大邏輯流派各自獨樹一幟，自成體系.在現代邏輯學的發展上，相繼取得了三個劃時代的成果：歌德爾不完全性定理，塔斯基形式語言真理論，圖靈機極其應用理論，而我們可以讓學生去看一些此方面的資料，以了解西方與東方邏輯語言上的差別與聯系.進一步把我們所要學習的數理邏輯與自然語言的邏輯聯系起來.

建議二：在邏輯的教學中，一定要謹慎，不要想當然，隨意出題，多斟酌；我們有機會也可以多和語文老師溝通，探討語言、語法結構上的判斷詞、聯結詞、量詞與數學語言的差別和聯系，在一些命題的表述過程中將文字語言與數學符號有機地結合起來使用，便于學生理解.

建議三：教學過程中，不要只對學生進行大規模的訓練，應多注意培養、提高學生轉換命題與構造命題的能力，學生能在自己的創造過程中發現問題，以此激發探究的激情，有助于完善他們對客觀世界的理性認識，并能逐步提高他們對事物的判斷能力.

總之，新教材的眾多閃光點，我們將在漸進的教學過程中逐步體會到，我們要利用好新教材中的這些閃光點，不要穿新鞋走老路，要穿新鞋走新路，讓我們的學生學得輕松一點、出色一點.

個人簡介 陳偉斌，出生于1976年5月4日，無錫市第六高級中學，中學數學一級教師，有多篇文章在省級以上刊物發表.

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