模式思想對(duì)代數(shù)教學(xué)意義的探討

曹一鳴　王竹婷

幾何與代數(shù)是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最經(jīng)典的分支，是數(shù)學(xué)方法與思想的重要源泉，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本內(nèi)容.古典的綜合幾何（歐氏幾何）曾統(tǒng)治數(shù)學(xué)及其教學(xué)有2000年的歷史.隨著解析幾何的誕生，把分析的方法（代數(shù)方程）引進(jìn)幾何研究，使得初等幾何的問(wèn)題代數(shù)化、形式化，從而為數(shù)學(xué)研究的程序化、機(jī)械化、模式化奠定了基礎(chǔ).更進(jìn)一步，數(shù)學(xué)的代數(shù)化成為20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要特征1.代數(shù)在從其他領(lǐng)域汲取新思想、新方法的同時(shí)，不斷深入到數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域以及數(shù)學(xué)之外的領(lǐng)域，這是由于它的方法與結(jié)果形成一種一般模式具有廣泛性.從某種意義上講，數(shù)學(xué)就是一種模式的科學(xué)，正是由于這種代數(shù)模式的推動(dòng)，促進(jìn)了許多新學(xué)科相互交織發(fā)展.因此，代數(shù)不再被看成是解決一些技巧性很強(qiáng)的個(gè)別支離破碎的問(wèn)題和沒(méi)有意義的符號(hào)游戲，而是由“代數(shù)思維”貫穿的整體，這種代數(shù)思維的一個(gè)很重要的特征就是模式，已經(jīng)延伸到幾何、概率等領(lǐng)域.因此，代數(shù)思維已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的基本話語(yǔ)，代數(shù)思維的教學(xué)是學(xué)生在數(shù)學(xué)及其他領(lǐng)域獲得成功經(jīng)驗(yàn)的必要準(zhǔn)備.2

代數(shù)教學(xué)在我國(guó)已有一定的重視，但是對(duì)于將代數(shù)作為一種數(shù)學(xué)中的“核心思想（big idea）”的教學(xué)進(jìn)行研究則相對(duì)較少.對(duì)幾何教學(xué)以及邏輯思維則視為數(shù)學(xué)的“核心思想”而忽視了對(duì)代數(shù)思維的研究.在國(guó)際上已經(jīng)有很多學(xué)者對(duì)代數(shù)思維展開(kāi)了深入的討論、研究.主要集中在以發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維這一理念下提出的，旨在通過(guò)對(duì)代數(shù)核心思想的教學(xué)，讓學(xué)生獲得對(duì)代數(shù)整體性認(rèn)識(shí)和概念性理解，將課程被割裂的代數(shù)知識(shí)整合起來(lái)，并將代數(shù)與幾何及其他學(xué)科緊密聯(lián)系3.特別需要提及的是全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)（NCTM）關(guān)于“為每個(gè)人的代數(shù)”的報(bào)告，促使越來(lái)越多的數(shù)學(xué)教育專家關(guān)注于代數(shù)思維的教學(xué)研究，并明確提出將代數(shù)核心思想作為貫穿中小學(xué)代數(shù)教學(xué)的主線.4

目前，對(duì)代數(shù)思想中的核心思想究竟包括哪些，眾說(shuō)紛紜，Randall I. Charles在NCTM 2005年會(huì)上歸納的10個(gè)代數(shù)核心思想具有一定的代表性：數(shù)、運(yùn)算方法和關(guān)系、性質(zhì)、比例、等價(jià)、比較、變量、模式、關(guān)系和函數(shù)、方程和不等式.相關(guān)的研究表明，模式作為代數(shù)核心思想之一已受到普遍的認(rèn)同和關(guān)注.模式是指現(xiàn)實(shí)或數(shù)學(xué)情境中的數(shù)學(xué)形式，它必須能夠反映出某類事物的關(guān)系結(jié)構(gòu).本文以“模式”為例，對(duì)代數(shù)核心思想進(jìn)行探討，旨在為我國(guó)的核心思想的教學(xué)提供借鑒和啟發(fā).

1 模式的概念界定

人們通常使用的“模式”一詞，來(lái)源于“模型”.“模”包含了實(shí)物模型的意義，“式”包含了形式、樣式的意義，“模式”一詞便兼有實(shí)物和形式的意義5.對(duì)于作為代數(shù)核心思想的“模式”一詞，主要有以下幾種不同的觀點(diǎn)：

①Randall I. Charles在NCTM 2005年會(huì)上，提出模式作為10個(gè)代數(shù)核心思想之一，是指一些數(shù)學(xué)情境中的數(shù)字和對(duì)象，可被用來(lái)定義關(guān)系和進(jìn)行概括，是將現(xiàn)實(shí)情境和數(shù)學(xué)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)的橋梁.

這一觀點(diǎn)，是本文最初的出發(fā)點(diǎn)，雖對(duì)“模式”做出的定義比較籠統(tǒng)，但揭示出了“模式”是來(lái)源于“情境”中，需要人們進(jìn)行理性思維和提煉才能認(rèn)識(shí).正是由于它這種與“情境”的淵源和蘊(yùn)涵的理性思維的性質(zhì)，使得它成為將二者緊密連接起來(lái)的關(guān)鍵.

②劉長(zhǎng)明、孫連舉在對(duì)全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)2000年公布的《美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡(jiǎn)稱NCTM2000《標(biāo)準(zhǔn)》）進(jìn)行分析中，認(rèn)為“模式指的是存在于現(xiàn)實(shí)情境中的數(shù)量形式，關(guān)系指的是模式中的數(shù)量之間的聯(lián)系，函數(shù)是對(duì)關(guān)系的抽象概括，是模式中的一種”6.

雖然“理解模式、關(guān)系和函數(shù)”是NCTM2000《標(biāo)準(zhǔn)》中貫穿13個(gè)年級(jí)的代數(shù)教學(xué)的主題之一，但它并沒(méi)有對(duì)“模式”做出明確的定義或說(shuō)明.劉長(zhǎng)明、孫連舉的分析，進(jìn)一步闡明了“模式”是“數(shù)量形式”.但對(duì)“數(shù)量形式”這一說(shuō)法，目前從數(shù)學(xué)哲學(xué)觀點(diǎn)看還存在著一些爭(zhēng)議.

③徐利治、鄭毓信教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)模式是指“按照某種理想化的要求（或?qū)嶋H可應(yīng)用的標(biāo)準(zhǔn)）來(lái)反映（或概括地表現(xiàn)）一類或一種事物關(guān)系結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)形式.當(dāng)然，凡是數(shù)學(xué)模式在概念上都必須具有一義性、精確性,一定條件下的普適性及邏輯上的演繹性.”7

這一觀點(diǎn)是從數(shù)學(xué)哲學(xué)的角度對(duì)“模式”進(jìn)行了界定，較之前兩個(gè)觀點(diǎn)更抽象，是更一般的“模式”，不僅包括內(nèi)容上的“模式”，而且還包括數(shù)學(xué)方法以及思維的“模式”.作為本文對(duì)象的“模式”是要求學(xué)生掌握的代數(shù)核心思想之一，是學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律的方法，不研究作為方法以及思維的“模式”的性質(zhì).這一觀點(diǎn)所界定的“模式”反映事物的“關(guān)系結(jié)構(gòu)”比“數(shù)量形式”的說(shuō)法更加明確，也與觀點(diǎn)①更為接近.

綜合考慮以上觀點(diǎn)，本文采取的觀點(diǎn)是，模式是現(xiàn)實(shí)或數(shù)學(xué)情境中的數(shù)學(xué)形式，它必須能夠反映出某類事物的關(guān)系結(jié)構(gòu).

2 模式思想對(duì)代數(shù)教學(xué)的意義

2.1 有助于學(xué)生獲得概念性理解

我國(guó)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡(jiǎn)稱我國(guó)高中《標(biāo)準(zhǔn)》）中倡導(dǎo)讓學(xué)生獲得概念性理解.NCTM2000《標(biāo)準(zhǔn)》則將強(qiáng)調(diào)概念性理解和理解模式貫穿始終.以模式為代數(shù)核心思想之一的代數(shù)教學(xué)有助于學(xué)生獲得概念性理解.

代數(shù)作為數(shù)學(xué)最主要的分支之一，是以代數(shù)結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象的一門學(xué)科.所謂代數(shù)結(jié)構(gòu)，就是指帶有一個(gè)或多個(gè)代數(shù)運(yùn)算并且滿足一定運(yùn)算規(guī)則的非空集合.學(xué)生從小學(xué)、中學(xué)到大學(xué)，正是以“感性”或“直觀”概念作為特例，逐步地拓展范圍，逐步地提高抽象層次.代數(shù)學(xué)這種高度抽象的理論與方法，較之其他數(shù)學(xué)分支尤為明顯.高中階段代數(shù)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)與初中比較，有進(jìn)一步符號(hào)化、知識(shí)點(diǎn)多、進(jìn)度快的特點(diǎn).學(xué)生在初中初步接觸符號(hào)化，從用字母表示數(shù)開(kāi)始，逐步學(xué)習(xí)變量、代數(shù)式、方程和函數(shù)變量說(shuō)的概念.進(jìn)入高中階段，重新定義函數(shù),研究函數(shù)的性質(zhì)、典型函數(shù)的特點(diǎn)都要用到符合化的語(yǔ)言，公式的推導(dǎo)也要求能夠進(jìn)行純粹的符號(hào)運(yùn)算而且推理更加嚴(yán)密.如數(shù)列部分，大量的符號(hào)本身就已經(jīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn).因此，在高中代數(shù)教學(xué)中，使學(xué)生擺脫機(jī)械的操作與記憶，獲得概念性理解就顯得尤為重要了.而要獲得概念性理解，就要深入理解研究對(duì)象的結(jié)構(gòu)和本質(zhì)，模式正是對(duì)事物關(guān)系結(jié)構(gòu)的反映.

2.2 有助于代數(shù)學(xué)習(xí)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系

在對(duì)模式進(jìn)行的概念分析中，我們已經(jīng)看到，模式正是來(lái)源于情境中，是將代數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系起來(lái)的橋梁.荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾提倡要讓學(xué)生學(xué)習(xí)多方面聯(lián)系的數(shù)學(xué)，這包括數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與外部的聯(lián)系兩方面.數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系使得數(shù)學(xué)構(gòu)成統(tǒng)一的整體，數(shù)學(xué)與外部的聯(lián)系對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)卻是“更自然與更重要的”，而且為了教有聯(lián)系的數(shù)學(xué)“還是應(yīng)該從數(shù)學(xué)與它所依附的學(xué)生親身體驗(yàn)的現(xiàn)實(shí)之間去尋找聯(lián)系”8.中國(guó)高中《標(biāo)準(zhǔn)》代數(shù)部分中在每一部分都要求提供基本內(nèi)容的實(shí)際背景，反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).同時(shí)，隨著對(duì)數(shù)學(xué)本身的不同理解，數(shù)學(xué)不再單單是“思維的體操”，而且它的工具價(jià)值越來(lái)越受到重視.學(xué)生不僅要借助現(xiàn)實(shí)情境來(lái)理解代數(shù)，而且要在情境中體會(huì)數(shù)學(xué)的用途，為適應(yīng)社會(huì)和選擇不同職業(yè)作好準(zhǔn)備.

2.3 有助于發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力

代數(shù)的高度抽象性是其顯著特征之一.12到18歲的中學(xué)生正處在抽象思維迅速發(fā)展的時(shí)期.因此不能僅僅看重中學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新、發(fā)散等思維能力的發(fā)展，也要重視抽象思維能力的培養(yǎng)，否則將事倍功半.就高中代數(shù)內(nèi)容而言，抽象程度與初中相比顯著提高.對(duì)于高中學(xué)生來(lái)說(shuō)，抽象概括能力也應(yīng)在代數(shù)學(xué)習(xí)中得到提升.

在代數(shù)思維的理論框架中，模式屬于基本思想中的學(xué)習(xí)方程和數(shù)學(xué)建模的工具，與屬于代數(shù)思維工具中的概括相互對(duì)應(yīng).適當(dāng)?shù)哪Ｊ娇梢越o學(xué)生提供觀察和口頭概括的機(jī)會(huì)，進(jìn)而用代數(shù)符號(hào)記錄結(jié)果.學(xué)生在對(duì)所給情境中的隱藏的模式進(jìn)行識(shí)別或是建構(gòu)的過(guò)程中，實(shí)際上就是在進(jìn)行思維抽象層次的提升，模式分析則又是一次抽象層次的提升.如NCTM2000《標(biāo)準(zhǔn)》中，給出了三個(gè)不同的問(wèn)題情境后，分別要求學(xué)生建構(gòu)其中的模式，發(fā)現(xiàn)函數(shù)表達(dá)式，這是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的一次抽象.在這個(gè)基礎(chǔ)上，又要求學(xué)生比較這些函數(shù)（也就是在比較這些模式內(nèi)部或不同模式之間）的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，比如增減性或增長(zhǎng)率等，這又是一次抽象.這樣的過(guò)程，才可以使學(xué)生的思維上升到一定高度.

參考文獻(xiàn)

［1］ 張繼平主編．新世紀(jì)代數(shù)學(xué)［M］．北京：北京大學(xué)出版社，2002：2

［2］ Kriegler, S. (2001). Just what is algebraic thinking? submitted for algebraic concepts in the middle school ［J］. A special edition of Mathematics Teaching in the Middle School

［3］ Woodbury, S. (2000). Teaching toward the big ideas of algebra ［J］.Mathematics Teaching in the Middle School, Vol.6, Dec2000:226-229

［4］ 曹一鳴，王竹婷，數(shù)學(xué)“核心思想”代數(shù)思維的教學(xué)研究［J］，數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，Vol.16, No.1, 2007:8-11

［5］ 曹一鳴著.數(shù)學(xué)教學(xué)模式導(dǎo)論［M］.北京:中國(guó)文聯(lián)出版社,2002：33

［6］ 劉長(zhǎng)明,孫連舉.中美初中學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)的比較研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào), Vol.13, No.4, 2004: 45-48.47

［7］ 徐利治. “數(shù)學(xué)模式觀”與數(shù)學(xué)教育及哲學(xué)研究中的有關(guān)問(wèn)題［A］，徐利治論數(shù)學(xué)方法學(xué)［C］，濟(jì)南:山東教育出版社,2001：124

［8］ ［荷蘭］弗賴登塔爾著.陳昌平,唐瑞芬等編譯.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］.上海：上海教育出版社,1995：74

作者簡(jiǎn)介 曹一鳴，北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，兼任中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)教育工作委員會(huì)副主任，全國(guó)高師數(shù)學(xué)教育研究會(huì)秘書長(zhǎng).