三角形中的重要線段學習導航

三角形的高、中線、角平分線是三角形中的三種重要線段，在解決幾何問題的過程中起著重要的作用.學習這三種重要線段，需掌握以下知識點.

一、概念

1. 三角形的高.如圖1，從△ABC的頂點A向它的對邊BC所在的直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高.

2. 三角形的中線.如圖2，連接△ABC的頂點A和它的對邊BC的中點D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的中線.

3. 三角形的角平分線.如圖3，作∠BAC的平分線AD，交∠BAC所對的邊BC于點D，所得線段AD叫做△ABC的角平分線.

二、特性

三角形有3條角平分線、3條中線、3條高，且三角形的3條角平分線交于一點，3條中線交于一點，3條高所在的直線交于一點.

三、重點要點

要注意“三角形的角平分線”與“角的平分線”的區別，前者是一條線段，其長度可以度量，后者是一條射線，其長度不能度量.類似地，三角形的高、中線均是線段.在畫三角形的高時要注意，銳角三角形的3條高都在三角形的內部；鈍角三角形有2條高在三角形的外部；在直角三角形中，有2條高都是三角形的直角邊.作三角形的高通常要用直角符號標明.

四、相關性質

1. 如圖1，AD是△ABC的高，即AD⊥BC，垂足為D，則∠ADB=∠ADC=90°.

2. 如圖2，AD是△ABC的中線，即D是邊BC的中點，則BD=DC=BC.

3. 如圖3，AD是△ABC的角平分線，即AD平分∠BAC，則∠BAD=∠CAD=∠BAC.

五、簡單應用

1. 利用有關概念作圖

例1在圖4和圖5中，分別畫出AC邊上的高和中線.

<\\\\192.168.2.123\\00\\七年級數學人教版2008年3月\\分析.tif>[分析：]要明確題目中要求畫的是三角形中哪條邊上的高和中線，然后在正確理解概念的基礎上畫圖.

解：如圖6和圖7.

2． 運用概念和性質進行推理說明

例2如圖8，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，D是邊BC的延長線上的一點，試說明CE⊥CF.

<\\\\192.168.2.123\\00\\七年級數學人教版2008年3月\\分析.tif>[分析：]三角形的一個內角與同它相鄰的外角之和是180°，利用角平分線的性質可得∠ECF=90°，從而由角的大小說明線段之間的關系.另外，D是邊BC的延長線上的一點這個條件不可忽視，它保證了B、C、D三點共線.

解：因為D是邊BC的延長線上的一點，所以∠ACB+∠ACD=180°.

因為 CE、CF分別是∠ACB、∠ACD的平分線，所以∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD.

故∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACD）=×180°=90°，即∠ECF=90°.故CE⊥CF.