探索三角形中的角

同學們都知道，三角形內角和定理、三角形外角的性質、三角形角平分線的性質對于解答與三角形有關的問題有著很重要的作用，靈活應用這些定理和性質有助于提高我們的解題能力.下面舉例說明.

例1如圖1，若點P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點，試說明∠BPC=90°+∠A.

[解析：]在△BPC中，∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）.

∵∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，

∴∠BPC=180°-（∠ABC+∠ACB）

=180°-（∠ABC+∠ACB）.

∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴∠BPC=180°-（180°-∠A）

=90°+∠A.

[點評：]三角形內角和定理、角平分線的性質以及整體代入思想在解這道題的過程中起著重要的作用.

同學們可以參照例1試著解答下面這道練習題.

練習：如圖2，點P是△ABC的外角∠CBF和∠BCE的平分線的交點，試說明∠P=90°-∠A.

例2如圖3，點P是∠ABC的平分線和∠ACE的平分線的交點，試說明∠P=∠A.

[解析：]可利用三角形外角的性質、角平分線的性質解題.

∵∠PCE是△PBC的外角，

∴∠PCE=∠PBC+∠P.

故∠P=∠PCE-∠PBC.

∵∠ACE是△ABC的外角，

∴∠ACE=∠ABC+∠A.

故∠A=∠ACE-∠ABC.

∵∠ACE=2∠PCE，∠ABC=2∠PBC，

∴∠A=2∠PCE-2∠PBC=2（∠PCE-∠PBC）.

又∠P=∠PCE-∠PBC，

∴∠A=2∠P，即∠P=∠A.

[點評：]在求三角形中角的關系時，常用到三角形內角和定理、三角形外角的性質、三角形角平分線的性質，利用好它們之間的關系，可以很方便地解決問題.