例析對頂三角形的性質

如圖1，線段AD與線段BC相交于O點，連接AB、CD，我們把△AOB和△COD稱為一組對頂三角形．根據三角形的內角和為180°，我們很容易就得到對頂三角形的特殊性質：如果一組對頂三角形中的兩個對頂角分別為∠1、∠2，則∠1所在的三角形中另外兩個內角之和等于∠2所在的三角形中另外兩個內角之和.在圖1所示的對頂三角形中有∠A+∠B=∠C+∠D．

這條性質看似簡單，但在求某些復雜圖形中多個內角之和時作用可大著呢．請看下面幾例．

例1圖2是一個星形圖案，求∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的大小．

<\\\\192.168.2.123\\00\\七年級數學人教版2008年3月\\分析.tif>[分析：]觀察圖形，我們發(fā)現連接AB、BC、CD、DE、EA都能構成對頂三角形，這樣就把求這五個角之和的問題轉化為求三角形內角和的問題，而三角形的內角和為180°，問題就輕松解決了．

解：連接CD，則△BOE和△COD是一組對頂三角形.

根據對頂三角形的性質可知，∠B+∠E=∠OCD+∠ODC．所以有

∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E

=∠A+（∠B+∠E）+∠ACE+∠ADB

=∠A+（∠OCD+∠ODC）+∠ACE+∠ADB

=∠A+∠OCD+∠ACE+∠ADB+∠ODC

=∠A+∠ACD+∠ADC

=180°．

例2如圖3，∠A+∠B+∠BCE+∠ADE+∠E=．

<\\\\192.168.2.123\\00\\七年級數學人教版2008年3月\\分析.tif>[分析：]只要連接CD就可構造出一組對頂三角形，利用對頂三角形的性質和三角形的內角和定理，即可求出這五個角的和．

解：連接CD，則△AOB和△COD是一組對頂三角形，于是可知∠A+∠B=∠OCD+∠ODC．所以有

∠A+∠B+∠BCE+∠ADE+∠E

=∠OCD+∠ODC+∠BCE+∠ADE+∠E

=∠ECD+∠EDC+∠E

=180°．

例3如圖4，∠A+∠B+∠BCE+∠ADF+∠E+∠F= ．

<\\\\192.168.2.123\\00\\七年級數學人教版2008年3月\\分析.tif>[分析：]連接CD可構造出一組對頂三角形，利用對頂三角形的性質，可以把求這六個角之和的問題轉化為求四邊形內角和的問題，而四邊形的內角和是360°，于是問題即可解決．

解：連接CD，則△EOF和△COD是一組對頂三角形，于是可知∠E+∠F=∠OCD+∠ODC．所以有

∠A+∠B+∠BCE+∠ADF+∠E+∠F

=∠A+∠B+∠BCE+∠ADF+∠OCD+∠ODC

=∠A+∠B+∠BCD+∠ADC

=360°．

【小結】在求某些復雜圖形中的多個角之和時，可通過添加適當的輔助線，構造對頂三角形，利用對頂三角形的性質，把所要求的多個角之和問題轉化為多邊形的內角和問題，可使問題得以快速解決．