巧用三角形的中線解題

連接三角形的一個頂點和這個頂點的對邊中點的線段，叫做三角形的中線，它是三角形中的三種重要線段之一，應用比較廣泛，下面舉例說明．

1. 用于求邊長之和（差）

例1如圖1，AD是△ABC的中線，若△ABD的周長比△ADC的周長大5，試求AB-AC的值．

<\\\\192.168.2.123\\00\\七年級數學人教版2008年3月\\分析.tif>[分析：]根據所給條件我們無法求出邊AB、AC的長，由△ABD的周長比△ADC的周長大5，再根據中線的性質，可用整體思想予以解決．

解：因為△ABD的周長為AB+BD+AD，△ADC的周長為AC+DC+AD，所以（AB+BD+AD）-（AC+DC+AD）=5.從而可得AB+BD-AC-DC=5．

又因為AD是△ABC的中線，所以BD=DC.所以AB-AC=5．

2.用于求三角形的面積

例2如圖2，AD是△ABC的中線， E是邊AC的中點， F是線段AD的中點，G是線段AE的中點. 若△AFG的面積為2，試求△ABC的面積．

<\\\\192.168.2.123\\00\\七年級數學人教版2008年3月\\分析.tif>[分析：]由于AD是△ABC的中線，△ABD和△ADC等底同高，所以它們的面積相等．

又因為E是邊AC的中點，則DE是△ADC的中線，所以△ADE和△DEC的面積相等.

同樣可得△AEF和△DEF的面積相等，△AFG和△FGE的面積相等．

如此便可以找出△ABC與△AFG的面積之間的倍數關系，從而求出△ABC的面積．

解：因為G是線段AE的中點，所以FG是△AEF的中線.故△AFG和△FGE的面積相等，S△AEF=2S△AFG= 4.

同理可得S△ADE =2S△AEF=8，S△ADC =2S△ADE=16，S△ABC=2S△ADC=32．

3.用于方案設計

例3某中學校園內有圖3和圖4所示的兩塊三角形空地.學校準備將這兩塊空地綠化，要求把圖3所示的空地分成3個面積相等的三角形，把圖4所示的空地分成4個面積相等的三角形．現向同學們征集設計方案，請你設計一套方案，并簡要說明理由．

<\\\\192.168.2.123\\00\\七年級數學人教版2008年3月\\分析.tif>[分析：]這是一道既動手又動腦的實際操作題，方案設計方法不唯一.我們可以利用三角形的中線的性質進行設計．

解：如圖3，分別作中線AD、BE，交于點P.連接PC，得△PAB、△PBC、△PAC．

∵△ABD、△ADC等底同高，△PBD、△PDC等底同高，

∴S△ABD=S△ADC，S△PBD=S△PDC .

∴S△PAB=S△PAC .

∵△BCE、△BEA等底同高，△PCE、△PEA等底同高，

∴S△BCE=S△BEA， S△PCE=S△PEA.

∴S△PBC=S△PAB .

故S△PAB=S△PBC=S△PAC .

如圖4，作△ABC的中線AD，取邊AB的中點E、邊AC的中點F，連接DE、DF，將△ABC分成4個三角形．

因為AD是△ABC的中線，所以 S△ABD =S△ADC ．

由于DE、DF分別是△ABD和△ADC的中線，所以 S△ADE=S△DBE，S△ADF =S△CDF ．

故S△ADE=S△DBE =S△ADF=S△CDF ．