一個(gè)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用

法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒曾說(shuō)過(guò)，我們所解決的每一個(gè)問(wèn)題都將成為一個(gè)模式，以用于解決其他問(wèn)題.他談到的模式就是我們現(xiàn)在常說(shuō)的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用建模思想可以將同一類(lèi)問(wèn)題輕而易舉地解決.請(qǐng)看下面這道題.

【題目】如圖1，∠AOB、∠BOC互為鄰補(bǔ)角，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，你能判斷出OE與OF的位置關(guān)系嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

[點(diǎn)撥：]這道題其實(shí)是讓我們證明一個(gè)推理——鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直.解答本題要經(jīng)歷“角的位置關(guān)系”#10141;“數(shù)量關(guān)系”#10141;“線的位置關(guān)系”這一過(guò)程，其中角平分線是將已知與未知聯(lián)系起來(lái)的橋梁.

解： OE與OF垂直.理由如下.

∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，

∴∠1=∠AOB，∠2=∠BOC.

又∵∠AOB與∠BOC互為鄰補(bǔ)角，

∴∠AOB+∠BOC=180°.

∴ ∠1+∠2=（∠AOB+∠BOC）

=90°.

∴OE與OF垂直.

這道題的解法演示了幾何說(shuō)理題的解題步驟，介紹了證明兩線垂直的一個(gè)基本方法——轉(zhuǎn)化為求兩線夾角為90°.該模型為我們提供的思路可以解答與其類(lèi)似的題目.

例1如圖2，E是直線AC上的一點(diǎn)，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D.你能判斷出BE與DE的位置關(guān)系嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

[點(diǎn)撥：]看到平行，應(yīng)首先想到利用平行線的性質(zhì)，所以可過(guò)E點(diǎn)作AB的平行線.

解： BE與DE垂直.理由如下.

如圖2，過(guò)E點(diǎn)作EF∥AB.

因?yàn)锳B∥CD，所以AB∥EF∥CD.

故∠3=∠B，∠4=∠D.

所以∠1=∠3，∠2=∠4.

由前面的模型可知BE與DE垂直.

[點(diǎn)評(píng)：]本題通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造出一對(duì)鄰補(bǔ)角，從而使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的模型.

例2如圖3，已知AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，交AE于點(diǎn)E.請(qǐng)判斷AE與CE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

[點(diǎn)撥：]解答此題的方法比較多，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造出相等的角，以便于解題.

解： 如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，GH∥CA.

因AB∥CD，故EF∥CD.

所以∠1=∠6，∠2=∠5，∠3=∠7，∠4=∠8.

而∠1=∠2，∠3=∠4，故∠5=∠6，∠7=∠8.

問(wèn)題又轉(zhuǎn)化成了前面的模型，可知AE⊥EC.

【責(zé)任編輯：穆林彬】

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