線中的數學思想

在直線、射線、線段這部分內容中，滲透了許多重要的數學思想方法，下面舉例說明.

1. 數形結合思想

例1同學們去公路邊植樹，每隔3 m植一棵樹，那么在21 m長的公路邊可植幾棵樹？

解： 從圖1中可以看出，可植8棵樹.

[說明：]你可能會不假思索地回答，三七二十一，可植7棵樹，那就錯了.對于這類題目，要注意考慮線段的端點，否則容易出錯.

2. 方程思想

例2如圖2，點D、E在線段AB上，且都在AB中點的同側，點D分AB為2 ∶ 5兩部分，點E分AB為4 ∶ 5兩部分，若DE=5 cm，則AB的長是多少？

解： 設AB=x cm，則AD=x cm，AE=x cm.

由AE-AD=DE，得x-x=5.

解得x=31.5.

故AB=31.5 cm.

3. 整體思想

例3如圖3，C是線段AB上一點，點 D、E 分別是AC、CB的中點，若AB=10 cm，求線段DE的長.

解： ∵D、E分別是AC、CB的中點，

∴DC=AC，CE=CB.

∴DE=DC+CE

=AC+CB

=（AC+CB）

=AB

= × 10

=5（cm）.

[說明：]解答本題的關鍵是逆用分配律，得出待求線段和已知線段的關系.

4. 分類討論思想

例4已知線段AB=8 cm，在直線AB上畫線段BC，使BC等于3 cm，求線段AC的長.

解： 點C可能在線段AB上，也可能在線段AB之外，因此需要分類討論.

當點C在線段AB上時，如圖4所示，有

AC=AB-BC

=5 cm.

當點C在線段AB之外時，如圖5所示，有

AC=AB+BC

=11 cm.

因此線段AC的長為5 cm或11 cm.

5. 歸納猜想思想

例5根據題意，完成下列填空.

l1與l2是同一平面內的兩條相交直線，它們有1個交點，如果在這個平面內再畫出第3條直線l3，那么這3 條直線最多可有個交點；如果在這個平面內再畫出第4條直線l4，那么這4條直線最多可有個交點……由此我們可以猜想：在同一平面內，6條直線最多可以有個交點，n（n為大于1的整數）條直線最多可以有個交點（用含n的代數式表示）.

解： 畫圖觀察，如圖6.根據圖6可歸納出表1.

由此猜想：

a2=1；

a3=a2+2=1+2；

a4=a3+3=1+2+3；

a5=a4+4=1+2+3+4；

……

于是，可猜想n條直線最多可有交點個數為：

an=an-1+（n-1）

=1+2+3+4+…+（n-1）

=n（n-1）.

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