折疊與軸對稱

折疊型問題是近年中考的熱點(diǎn)問題.通常是把某個圖形按照給定的條件折疊，通過折疊前后圖形的相互關(guān)系來命題.折疊型問題立意新穎，變幻多樣.下面我們一起來探究這種題型的解法.

折疊型問題的規(guī)律是：折疊前后的部分圖形，關(guān)于折痕成軸對稱，兩圖形全等；對應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕垂直平分.同時，可以聯(lián)合應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)和判定解決問題.

一、根據(jù)折疊性質(zhì)求角的大小

例1如圖1，把一個長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)D、C分別落在D′、C′的位置.若∠EFB=65°，則∠AED′=__.

解：把長方形這樣折疊后，得到的四邊形D′C′FE和四邊形DCFE是全等的，根據(jù)全等形的性質(zhì)，可得到∠DEF=∠D′EF.因AD∥BC，故∠DEF=∠EFB=65°.于是得到∠AED′=180°-2∠DEF=50°.

例2如圖2，長方形ABCD沿AE折疊，使D點(diǎn)落在邊BC上的F點(diǎn)處.若∠BAF=60°，則∠DAE=__.

解： 根據(jù)折疊的規(guī)律，可證△ADE≌△AFE，從而

∠DAE=∠FAE=（90°-60°）÷2=15°.

二、利用折疊得到特殊三角形

例3在一節(jié)數(shù)學(xué)活動課上，老師要求小明不借助任何工具在正方形的紙片上折疊出一個等邊三角形.他折疊了一會兒，沒有成功.你能幫他想想辦法嗎？

解：如圖3，先把正方形紙片ABCD對折，再展開，折痕為MN.然后把AD邊上的A點(diǎn)折疊到MN上的E點(diǎn)，折痕為DH.則△ADE即為等邊三角形.

由折疊我們可以知道，MN是AD的垂直平分線.點(diǎn)E在MN上，則由△ADH≌△EDH，得DA=DE.又AE=DE，故△ADE為等邊三角形.

三、求線段的長度

例4如圖4，等腰Rt△ABC中，∠C=90°.沿著BD把點(diǎn)C折疊到AB上的E點(diǎn).若△ADE的周長為10 cm，求AB的長.

解：根據(jù)折疊的規(guī)律可知△BCD≌△BED，所以BC=BE，DC=DE，△ADE的周長=DE+AD+AE=AC+AE=BC+AE=BE+AE=AB，所以AB=10 cm.

點(diǎn)評：利用對稱轉(zhuǎn)移線段，把三角形的周長放到一條直線上，是解這類周長、折疊結(jié)合問題的常用方法.

四、畫出折痕

例5如圖5，△ABC中，∠ACB=90°.將△ABC沿著一條直線折疊后，使A點(diǎn)與C點(diǎn)重合，如圖6．

（1）請在圖5中畫出折痕所在的直線l．設(shè)直線l與AB、AC分別相交于點(diǎn)D、E，連接CD．

（2）通過觀察、測量，請你找出完成題（1）后所得到的圖形中的等腰三角形．（不要求證明）

解：（1）折痕為AC的垂直平分線.如圖7.

（2）等腰三角形為△ACD、△BCD（因∠B=∠DCB）.

點(diǎn)評：折疊、垂直平分線總是緊密聯(lián)系著的.

例6有一個矩形ABCD，AB=2.5，AD=1.5.將矩形折疊，使AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將△AED以DE為折痕向右折疊，AE與BC交于點(diǎn)F（如圖8）.則CF的長為（）.

A. 0.5 B. 0.75C. 1D. 1.25

解：易知折疊后的∠DAE=45°.在最右邊的圖中，可計算出AB=2×1.5-2.5=0.5.從而BF=AB=0.5.故CF=AD-BF=1.5-0.5=1.選C.

點(diǎn)評：要能夠從圖形的兩次折疊中發(fā)現(xiàn)邊或角之間的關(guān)系，而從折疊出發(fā)得到∠DAE=45°是解題的關(guān)鍵.