全等三角形開放型問題評(píng)析

全等三角形是幾何的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，新課標(biāo)要求同學(xué)們對(duì)全等三角形的性質(zhì)和判定要能夠靈活運(yùn)用.形式多變的全等三角形開放型問題在中考中屢屢出現(xiàn)，下面舉例加以解析.

例1如圖1，點(diǎn)D、E分別在線段AB、AC上，BE、CD相交于點(diǎn)O，AD=AE.要使△ABE≌△ACD，需添加的一個(gè)條件是__（只要寫一個(gè)即可）．

分析：在添加條件之前，我們首先要弄清楚問題中已有哪些條件.

本題中已有AD=AE及∠A=∠A，對(duì)照不同的判定方法，我們可以選擇不同的添加方法：

方法一：用“邊角邊”證△ABE≌△ACD，需添加AB=AC或BD=CE.

方法二：用“角角邊”證△ABE≌△ACD，需添加∠B=∠C或∠AEB=∠ADC或∠CEO=∠BDO.

解：∠B=∠C，∠AEB=∠ADC，∠CEO=∠BDO，AB=AC，BD=CE等，任選一個(gè)即可.

點(diǎn)評(píng)：本題屬條件開放型題.補(bǔ)好條件后需檢驗(yàn)是否能證到結(jié)論.尤其要注意，兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等（俗稱“邊邊角”）.本題有同學(xué)添加CD=BE，這是不正確的.

例2如圖2所示，AC、BD相交于點(diǎn)O，AC=BD.試添加一個(gè)條件，使得△AOB≌△DOC.添加的條件是__（只需寫一個(gè)）.

分析：△AOB與△DOC中，只有∠AOB=∠DOC.還差兩個(gè)條件才能證明全等.題中給出的AC=BD不能直接用上，所以添加的條件除了本身可以用之外，還要能將AC=BD轉(zhuǎn)化為可用條件，所以本題添加的條件須是邊.可添加OA=OD或OB=OC.如先證△ABC≌△DCB再證△AOB≌△DOC，則可添加AB=DC.

解：可以填OA=OD或OB=OC或AB=DC等.

點(diǎn)評(píng)：本題與上題相比較，由于所給條件不可直接用，所以所添?xiàng)l件的空間不大.這就要求我們認(rèn)真審題，重視從原有條件出發(fā)，千萬(wàn)不能隨意添加.

例3如圖3所示，在△ABC與△ABD中，AD與BC相交于點(diǎn)O，∠1=∠2.請(qǐng)你添加一個(gè)條件（不再添加其他線段，不再標(biāo)注或使用其他字母），使AC=BD，并給出證明.你添加的條件是：__.

分析：本題要證AC=BD，需證△ABC≌△BAD或△AOC≌△BOD.而△AOC和△BOD中除一對(duì)對(duì)頂角相等以外，無(wú)其他條件可用，不易入手.△ABC和△BAD中除∠1=∠2外，尚有公共邊AB.考慮SAS可添加AD=BC；考慮ASA可添加∠CAB=∠DBA或∠CAD=∠DBC；考慮AAS可添加∠C=∠D.

解：填A(yù)D=BC（或DO=CO）或∠CAB=∠DBA或∠CAD=∠DBC或∠C=∠D等 .證明略.

點(diǎn)評(píng)：本題看上去全等的三角形不止一對(duì)，所以對(duì)解題有一定的干擾.從條件較多的一對(duì)三角形中添加條件無(wú)疑是明智之舉.

例4如圖4所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF.給出下列結(jié)論：（1）∠EAM=∠BAF；（2）BE=CF；（3）△ACN≌△ABM；（4）CD=DN.其中正確的結(jié)論有__（只需填序號(hào)）.

分析：本題屬結(jié)論開放型問題，可從已知條件出發(fā)推演.由∠E=∠F=90°，∠B=∠C，可證得△AEB≌△AFC（AAS），得到BE=CF，AC=AB及∠EAB=∠FAC，從而得∠EAM=∠BAF，所以（1）、（2）成立.由AC=AB，∠B=∠C以及公共角∠CAN=∠BAM，可證△ACN≌△ABM，所以（3）成立.而CD、DN不是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，也不能從其他條件證得，所以（4）不成立.

解：填（1）、（2）、（3）.

點(diǎn)評(píng)：關(guān)于全等三角形的結(jié)論開放型題，由于結(jié)論的不確定性，需我們一個(gè)一個(gè)地仔細(xì)判別.尤其要注意，一些結(jié)論比較隱蔽，需經(jīng)過兩次或兩次以上的全等才能得到.那些圖形上看像正確而你又推不出的結(jié)論，一定要認(rèn)真對(duì)待噢！