聚焦等腰三角形中的探索型問題

近幾年的中考數學試題中，與等腰三角形有關的探索型問題已成為熱點之一.現舉例予以說明.

一、條件補充型

例1（濟南）如圖1，△ABC中，已知AB=AC，要使AD=AE，需要添加的一個條件是__.

簡析：從確定△ADE是等腰三角形著眼，應添加∠ADB=∠AEC或∠BAD=∠CAE或BD=CE等條件.

二、結論判斷型

例2（南通）如圖2所示，△ABC中，∠ACB=90°，△ACE、△CBD都是等邊三角形.試判斷EC與BD的位置關系，并證明你的結論.

簡析：因△ACE、△CBD都是等邊三角形，故∠ECA=∠DCB=60°.又因為∠ACB=90°，所以∠ECB=∠ECD=150°.連接EB、ED，如圖3.又EC=EC，CB=CD，則△ECB≌△ECD，所以EB=ED，∠DEC=∠BEC.由等腰三角形三線合一的性質知EC⊥BD.

三、辨別改錯型

例3（江西）如圖4，D是△ABC中BC邊上的一點，E是AD上的一點.EB=EC，∠1=∠2.求證：AD⊥BC．

請你先閱讀下面的證明過程．

證明：在△AEB和△AEC中，EB=EC，AE=AE，∠1=∠2，

∴△AEB≌△AEC.（第一步）

∴AB=AC， ∠BAE=∠CAE.（第二步）

∴AD⊥BC.（等腰三角形的“三線合一”）

上面的證明過程是否正確？如果正確，請寫出每一步的推理依據；如果不正確，請指出錯在哪一步，并寫出你認為正確的證明過程．

簡析：第一步錯誤．在△AEB和△AEC中，有兩邊和其中一邊的對角對應相等，并不能判定它們全等．證明思路如下：由EB=EC，得∠EBC=∠ECB.再由∠1=∠2，可得∠ABC=∠ACB，故AB=AC.下同上面證法．

四、條件組合型

例4（揚州） 如圖5，△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD與CE交于點O. 給出下列三個條件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD.

（1）上述三個條件中，哪兩個條件可以判定△ABC是等腰三角形？用序號寫出所有情形.

（2）請選擇（1）題中的某一種情形，證明△ABC是等腰三角形.

簡析：（1）有兩種情形：①、③，②、③.

（2）以①、③為例.

∵∠EOB=∠DOC，∠EBO=∠DCO，BE=CD，

∴△EBO≌△DCO（AAS）.

∴BO=CO.∠OBC=∠OCB.

由條件∠EBO=∠DCO，

∴∠ABC=∠ACB.△ABC為等腰三角形.

五、實驗操作型

例5（天門）在平面內，分別用3根、5根、6根火柴首尾依次相接，能搭成什么形狀的三角形呢？通過嘗試，列表表示如下.請閱讀下表后再回答問題.

問：（1）4根火柴能搭成三角形嗎？

（2）8根、12根火柴能搭成幾種不同形狀的三角形？請在下表中畫出它們的示意圖.

簡析：（1）因為4根火柴只能搭成長為1，1，2的三條線段，而長為1，1，2的三條線段不能構成三角形（因1+1=2），所以4根火柴不能搭成三角形.

（2）在搭的同時要注意三條線段長必須滿足三角形三邊關系定理.8根火柴可以搭成一個三邊長分別為3，3，2的等腰三角形；12根火柴可以搭成一個三邊長分別為5，5，2的等腰三角形，也可以搭成一個三邊長分別為4，4，4的等邊三角形，還可以搭成一個三邊長分別為3，4，5的直角三角形.示意圖略.

說明：這類搭三角形的題可運用列舉法解.先畫三個方框.在最左邊的第一個方框中依次填上1，2，3，…，在第二個方框中再填入不小于第一個方框的數，然后在第三個方框中填入不小于第二個方框的數.這三個數如果滿足前兩個之和大于第三個，且這三個數之和為（火柴）總數，那么就可以搭成三角形，否則不能.

六 圖形分割型

例6（無錫）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°.試畫一條直線，把這個三角形分割成兩個等腰三角形．請你選用下面給出的備用圖（圖6），把不同的分割方法都畫出來．只需畫圖，不必說明理由，但要在圖中標出相等兩角的度數.

簡析：如圖7，有2種不同的分割方法.

說明：此題的解決也提示我們: 遇到與等腰三角形有關的問題時，一定要避免多解、漏解.

七 猜想探究型

例7（南充）如圖8，已知△ABC為等邊三角形，點M是線段BC上任意一點，點N是線段CA上任意一點，且BM=CN.直線BN與AM相交于Q點．

（1）請問：∠BQM等于多少度？

（2）如果M、N兩點分別在線段BC、CA的延長線上，其他條件不變，如圖9所示，（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請加以證明；如果不成立，請說明理由．

簡析：隨著幾何學習的深入，會出現不少規律探究題.這些題目要求同學們在運動變化中探求圖形某些不變的性質或變化的規律．（1）題通過猜想、測量或證明等方法不難發現△ABM≌△BCN，從而∠BMQ=∠BNC，∠BQM=∠AQN=∠ABQ+∠BAQ=∠ABQ+∠CBN=∠ABC=60°.而且這一結論在圖形發生變化后仍然成立．（2）題的證明思路如下：先證△ACM≌△BAN，得到∠M=∠N，所以∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°.