論向量在空間位置關系判斷及數量計算的優化整合

幾何學是研究現實世界空間形式的學科。幾何學在中學教學的主要任務是：發展學生的邏輯思維能力和空間想象能力。在高中階段，立體幾何部分內容的教學，對學生的空間想象力的培養是至關重要的。在教學的實踐當中，我們發現大部分學生都不同程度存在學習的困難，這主要表現在：對圖形的觀察與分析的能力，特別是基本元素之間的位置關系、數量關系的分析處理。

那么學習立體幾何，除了學生的空間想象能力高低等客觀因素外，能否找到一種好的工具能讓學生對空間的概念位置數量化呢？用向量的方法研究空間里涉及直線和平面的各種問題，往往可以收到化難為易的效果。主要的工具為向量數量積公式：· = ||·||cos<，>。下面以相應的例題說明法向量在立體幾何解題的整合及應用。

求兩直線所成的角

例1. 如圖1， 在直三棱柱中，，，，，點是的中點，

（1）求證：；

（2）求證：//平面；

（3）求異面直線與所成角的余弦值。

解：因為所以∠ACB=90€啊?

以CA，CB，CD所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系。

有(3，0，0);(0，4，0);(，2，0);(0，4，4)

（1）∵ = (，0，0)， = (0，，0)得·=0∴

（2）（法向量方法）設向量 = ()為平面的法向量，

評述：本題用向量解法時，只需建立空間直角坐標系，寫出點坐標，再進行代數運算。而不需作過多的輔助線，不需太多的空間想象力。大部分學生都可接受。

求直線與平面所成的角

評注：在解題過程中，一是要理解公式的幾何意義，二是要熟悉悉基本圖形如圖3。

求點到平面的距離→兩平行平面的距離

如圖3所示的線角關系可求點到面的距離，公式，其中為斜線。

例3．如圖4，在棱長為1的正方體中，

（1）求證：平面∥平面；

（2）求平面和平面距離。

以上是法向量在解題上的一些用法（另外，還可以用來求二面角的大小和求異面直線間的距離。這里不再舉例），用向量的方法研究空間里涉及直線和平面的各種問題，可以使整個解題過程轉化為程序化的向量運算，簡捷方便，能減輕學生空間想象之困難。

作者單位：廣東省佛山市南海區大瀝高級中學

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