小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)須防止涉及充分條件和必要條件的失誤

充分條件、必要條件是邏輯學(xué)中的重要概念。一些小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中常會(huì)出現(xiàn)涉及充分條件和必要條件的失誤。又由于這類(lèi)失誤較為隱蔽，所以更具危害性。它不僅會(huì)阻礙教師提高教學(xué)藝術(shù)，更會(huì)影響學(xué)生思維能力的發(fā)展以及嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性、靈活性等優(yōu)良思維品質(zhì)的形成。因此，有必要澄清充分條件和必要條件的概念，領(lǐng)悟其本質(zhì)，并融會(huì)貫通，防止失誤。

一、澄清概念，領(lǐng)悟本質(zhì)

我們先來(lái)回憶一個(gè)命題：對(duì)頂角相等。這是一個(gè)真命題，人們稱(chēng)之為對(duì)頂角定理。用“若……則……”的句式來(lái)敘述就是：若兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等。“若”字后面的是條件，可用A表示；“則”字后面的是結(jié)論，可用B表示。這樣一來(lái)，上述命題即可簡(jiǎn)記為“若A則B”或“有A則有B”或“A?圯B”。這表明A的出現(xiàn)保證了B的出現(xiàn)，于是，人們就稱(chēng)A是B的充分條件。

眾所周知，一個(gè)命題與其逆否命題是等價(jià)的，故“若A則B”與其逆否命題“若A則B ”（讀作“若非B則非A”或“無(wú)B則無(wú)A”）等價(jià)。這表明B不出現(xiàn)則A必不出現(xiàn)，于是，人們就稱(chēng)B是A的必要條件。由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律：如果A是B的充分條件，那么B就一定是A的必要條件。

在上述對(duì)頂角定理中，“兩角是對(duì)頂角”是“這兩角相等”的充分條件，“兩角相等”是“這兩角是對(duì)頂角”的必要條件。但由于僅有“A?圯B ”，而B(niǎo)A（由兩角相等不能推出這兩角是對(duì)頂角），所以更準(zhǔn)確的表述是：A是B的充分但不必要的條件，B是A的必要但不充分的條件。

如果在命題A、B間存在著這樣的關(guān)系：A?圯B 且B?圯A，即：A既是B的充分條件又是B的必要條件，我們就稱(chēng)A是B的充分且必要的條件，簡(jiǎn)稱(chēng)A是B的充要條件，記作：A?圳B。在數(shù)學(xué)中這類(lèi)互為充要條件的情況也為數(shù)不少。如：“若兩圓半徑相等，則此兩圓的周長(zhǎng)相等”；反之，“若兩圓周長(zhǎng)相等，則此兩圓半徑相等”。“兩圓半徑相等”是“這兩圓周長(zhǎng)相等”的充要條件。

對(duì)充分條件、必要條件等邏輯知識(shí)的學(xué)習(xí)不能止于表淺。有些人盡管能將概念的定義背誦得一字不差，但一遇到具體問(wèn)題，不是把充分條件誤認(rèn)為必要條件，就是把必要條件誤認(rèn)為充分條件，甚至將既不是充分條件也不是必要條件的命題誤當(dāng)成充要條件。因此，學(xué)習(xí)和運(yùn)用這部分知識(shí)須認(rèn)真領(lǐng)悟其本質(zhì)。

首先，為弄清充分條件與必要條件的區(qū)別，不妨先顧名思義：“充分”有“足夠”之意，故充分條件對(duì)結(jié)論的出現(xiàn)所起的作用是“有了就夠”；而“必要”有“必不可少”之意，故必要條件對(duì)結(jié)論的出現(xiàn)所起的作用是“缺之不可”。命題A對(duì)命題B出現(xiàn)的作用如果是“有了就夠”但“缺之亦可”，則A就是B的充分但不必要的條件；命題A對(duì)命題B出現(xiàn)的作用如果是“缺之不可”，但“有了還不夠”，則A就是B的必要但不充分的條件；命題A對(duì)命題B出現(xiàn)的作用如果既是“有了就夠”又是“缺之不可”的，A就是B的充要條件。

其次，要理論聯(lián)系實(shí)際，弄清這些邏輯關(guān)系在小學(xué)數(shù)學(xué)中的蘊(yùn)涵和體現(xiàn)。例如：（1）“a=0”是“ab=0”的充分但不必要的條件；（2）“兩個(gè)三角形面積相等”是“這兩個(gè)三角形全等”的必要但不充分的條件；（3）“一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字為偶數(shù)”是“這個(gè)整數(shù)為偶數(shù)”的充要條件。

另外，教師還可對(duì)生活中一些常見(jiàn)的事物，用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去詮釋。以下是兩個(gè)生活中有關(guān)充分條件和必要條件的例子。（1）“空氣”是“人類(lèi)生存”的必要但不充分的條件。沒(méi)有空氣，人類(lèi)不能生存，但僅有空氣而無(wú)食物、水等，人類(lèi)也是不能生存的。（2）在熟語(yǔ)“殺雞焉用宰牛刀”中，“使用宰牛之刀”對(duì)于“將雞殺死”而言，可以看成是充分但不必要的條件。因?yàn)槭褂迷着Ｖ叮啬芎翢o(wú)懸念地將雞殺死，這是“有了就夠”；然而，用一把菜刀、削鉛筆用的小刀或刮胡須的刀片即可順利地將雞殺死，實(shí)在不必勞駕宰牛之刀，這是“缺之亦可”。

需要注意的是，也有些生活中的事例要仔細(xì)辨析。例如，假設(shè)甲、乙兩支排球隊(duì)采用“五局三勝制”進(jìn)行比賽，以A表示“甲隊(duì)先勝兩局”，以B表示“甲隊(duì)獲勝”，有人認(rèn)為“A是B的必要但不充分條件”，這種認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的：先勝兩局者最后未必獲勝；而沒(méi)能先勝兩局者，最后卻未必不勝。所以，A對(duì)B而言既不是充分條件，也不是必要條件。

值得探討的還有一個(gè)問(wèn)題：任意兩個(gè)命題A、B之間是否只有A?圯B、B?圯A和A?圳B這三種關(guān)系呢？答案顯然是否定的。實(shí)際上，對(duì)任意兩個(gè)命題A、B而言，更普遍的情況是在上面三種情況之外的AB、BA，即二者不能相互推出，不具因果關(guān)系，A不是B的條件，B也不是A的條件。例如以A表示“今天天晴”，以B表示“今天要上數(shù)學(xué)課”，A、B之間就不存在條件與結(jié)論的關(guān)系。

二、融會(huì)貫通，防止失誤

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，涉及充分條件和必要條件的失誤主要有三類(lèi)：錯(cuò)把充分條件當(dāng)成充要條件，錯(cuò)把必要條件當(dāng)成充要條件，錯(cuò)把非條件當(dāng)成條件。以下擬通過(guò)教例評(píng)析的形式分別對(duì)這三類(lèi)失誤進(jìn)行討論。

1.莫把充分條件當(dāng)成充要條件。

在一堂四年級(jí)的數(shù)學(xué)課上，教師出示了一道課本中的判斷題：“三角形的面積是平行四邊形面積的一半。（）”

這道題目命題的錯(cuò)誤是明顯的。因?yàn)槿我庖粋€(gè)三角形的面積絕不可能會(huì)是任意一個(gè)平行四邊形面積的一半，所以立即有學(xué)生舉手發(fā)言：“我認(rèn)為這是錯(cuò)的，因?yàn)橐粋€(gè)很大的三角形的面積不會(huì)等于一個(gè)很小的平行四邊形面積的一半。”本來(lái)這是一個(gè)完全正確的回答，然而教師沒(méi)有及時(shí)回應(yīng)，似乎還在等待符合預(yù)設(shè)的回答。接著，另一個(gè)學(xué)生發(fā)言：“要說(shuō)等底等高才行。”這時(shí)，教師高興地予以肯定：“答得非常正確。”并總結(jié)道：“只有在三角形與平行四邊形等底等高的情況下，三角形的面積才會(huì)等于平行四邊形面積的一半。”

2.莫把必要條件當(dāng)成充要條件。

在一堂高年級(jí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，一個(gè)學(xué)生拿一道題目向教師請(qǐng)教，教師干脆將這道填空題抄在黑板上，讓大家都來(lái)思考。這道題是：設(shè)m=451027x，若m能被15整除，則x=（）。

不一會(huì)兒，一個(gè)學(xué)生舉手說(shuō)：“我做出來(lái)了，x=5。”并解釋說(shuō)：“因?yàn)?5能被5整除，而m又能被15整除，所以m一定能被5整除。由此推出m的末位數(shù)字x應(yīng)當(dāng)是5。”

教師此時(shí)正在教室內(nèi)巡視，聽(tīng)了這個(gè)學(xué)生的發(fā)言后，未經(jīng)仔細(xì)推敲就隨口肯定：“完全正確。”

筆者認(rèn)為學(xué)生的回答是“不完全正確”，而教師的評(píng)價(jià)則是“完全不正確”。

這個(gè)學(xué)生的推理中至少存在兩處錯(cuò)誤。其一，由“m能被15整除”理應(yīng)推出“m既能被3整除，又能被5整除”。“m能被5整除”僅是“m既能被3整除，又能被5整除”的必要但不充分的條件，故而題設(shè)條件沒(méi)用全。其二，由“m能被5整除”理應(yīng)推出“x=0或x=5”，并不能推出“x=5”，在此，“x=0或x=5”只是“x=5”的必要但不充分的條件，而不是“x=5”的充要條件。

正確的解法如下：

∵15=3×5，3與5互質(zhì)，又m能被15整除，

∴m能被3整除且m能被5整除。

(1)∵m能被5整除，∴x=0或x=5;

(2) ∵m能被3整除，∴4+5+1+0+2+7+x=19+x能被3整除，故1+x能被3整除，x=2或x=5或x=8。

取（1）、（2）結(jié)論之交集，即得x=5。

3.莫把非條件當(dāng)成條件。

在一堂五年級(jí)的數(shù)學(xué)課上，師生們正在研究課本中有關(guān)“統(tǒng)計(jì)”的一道例題：

“五（2）班要選10個(gè)同學(xué)組隊(duì)參加集體舞比賽。下面是20個(gè)候選隊(duì)員的身高情況（單位：m）。

1.321.331.441.451.461.461.471.47

1.481.481.491.50

1.511.521.521.52

1.521.521.521.52

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為參賽隊(duì)員身高是多少比較合適？”

教材上給出了3個(gè)學(xué)生的看法和教師的指導(dǎo)性意見(jiàn)。

小林：我算出平均數(shù)是1.475，身高接近1.475 m的比較合適。

小平：這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.485，身高接近1.485 m的比較合適。

小明：身高是1.52 m的人最多，1.52 m左右的比較合適。

教師：用小明的方案選出的隊(duì)員身高均勻。

緊接著，課本用兩行文字引入了“眾數(shù)”：“上面這組數(shù)據(jù)中，1.52出現(xiàn)的次數(shù)最多，是這組數(shù)的眾數(shù)。眾數(shù)能夠反映一組數(shù)據(jù)的集中情況。”

在教師引導(dǎo)下，學(xué)生都對(duì)小明的方案表示贊同。為加深學(xué)生的印象并讓他們掌握規(guī)律，教師在教學(xué)時(shí)進(jìn)行了小結(jié)：“大家記住，以后凡遇要求所選隊(duì)員身高均勻的問(wèn)題時(shí)，都應(yīng)該把眾數(shù)作為選擇的標(biāo)準(zhǔn)。”

教師的用意無(wú)疑是好的，但這一“規(guī)律”的正確性卻值得推敲。客觀事物是極其復(fù)雜的，具體問(wèn)題還要具體分析。只憑一道例題就去作帶有普遍性的結(jié)論，這結(jié)論未必可靠，這種做法也未免太草率。

把這位教師所說(shuō)的“規(guī)律”換個(gè)方式表述，即得如下命題：“把眾數(shù)定作身高標(biāo)準(zhǔn)”是“所選隊(duì)員身高均勻”的充分條件。現(xiàn)在要探討的就是這一命題的真假。

就這道例題而言，以眾數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)的確是對(duì)的，此時(shí)選出的10個(gè)隊(duì)員中就有7個(gè)的身高均為1.52 m，另3個(gè)隊(duì)員的身高則分別為1.51 m、1.50 m和1.49 m。極差（最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)之差）僅為0.03，確實(shí)最為均勻。然而，能否確保在任何情況下，只要以眾數(shù)作為選擇標(biāo)準(zhǔn)，所選隊(duì)員的身高就都是最均勻的呢？

為弄清這個(gè)問(wèn)題，我們不妨將上例中的數(shù)據(jù)稍加改變，讓這20個(gè)候選隊(duì)員的身高情況（單位：m）如下：

1.321.331.341.371.381.391.441.44

1.451.451.461.46

1.471.471.481.48

1.511.521.521.52

在這組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)仍是1.52。但若依此標(biāo)準(zhǔn)選擇隊(duì)員，則這10個(gè)隊(duì)員的身高（單位：m）應(yīng)為1.521.521.521.511.481.481.471.471.461.46。極差為0.06，不算最均勻。還不如選擇身高（單位：m）依次為1.481.481.471.471.461.461.451.451.441.44的10個(gè)隊(duì)員。這組數(shù)據(jù)的極差僅為0.04，顯然更加均勻。

從上述分析可以看出：“把眾數(shù)定作身高標(biāo)準(zhǔn)”既不是“所選隊(duì)員身高均勻”的充分條件，也不是它的必要條件，更不是它的充要條件。?茺（作者單位：江西省南昌師范高等專(zhuān)科學(xué)校）

作者簡(jiǎn)介：全國(guó)優(yōu)秀教師、江西省勞動(dòng)模范、江西省特級(jí)教師，自1994年10月起享受?chē)?guó)務(wù)院特殊津貼，江西省教育學(xué)會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)副理事長(zhǎng)，江西省教育廳中小學(xué)教材審查委員會(huì)成員。在全國(guó)四十多種報(bào)刊上發(fā)表論文四百余篇。出版了《怎樣上好小學(xué)數(shù)學(xué)課》《小學(xué)教壇漫思錄》等專(zhuān)著。

□責(zé)任編輯 鄧園生

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