用代數思想解決方程組確定的隱函數求導問題

[摘要]介紹運用線性方程組中確定方程解原理，確定由方程組所確定的隱函數的函數關系，進而計算函數的導數。

[關鍵詞]方程組 隱函數 代數 導數

多元函數微分學中，由方程組確定的隱含數的偏導數問題，向來是一個難點，特別是方程組確定的抽象、多元復合函數的求導，更讓學習者無所適從，不知哪些變量應作自變量，哪些變量應作因變量，而這正是求解此類問題的關鍵所在。必須分析清楚方程組可確定幾個隱含數，是幾元的，哪些變量是因變量，哪些變量是自變量，函數關系清楚了，才能正確解決這類問題。

線性代數關于線性方程組的解有如下定理：一個含有個線性方程的元線性無關的方程組若有解，則自由未知數的個數等于未知數個數與方程個數之差，即。運用這一原理可解決上述問題。

滿足隱函數存在定理的一切條件，可確定一組隱函數。則(1)中所有變量的個數相當于定理中的，方程個數為，因變量個數為，即自變量個數為，滿足，所以方程組(1)可確定個元的隱函數。中究竟誰是自變量，這由題設的要求來確定。下面通過幾個例子來具體說明。

參考文獻：

[1] 同濟大學數學系. 高等數學[M]（下冊）第六版.北京：高等教育出版社，2007.

[2] 同濟大學應用數學系.線性代數[M] 第四版.北京：高等教育出版社，2003.

作者單位：河南理工大學數學與信息科學學院河南焦作

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