小學(xué)數(shù)學(xué)“概率”教學(xué)的尷尬及歸因探尋

在義務(wù)教育小學(xué)階段，概率內(nèi)容教學(xué)的主要目的是幫助學(xué)生在體驗(yàn)活動(dòng)中認(rèn)識(shí)事件發(fā)生的確定性、不確定性事件發(fā)生的可能性和游戲的公平性，能夠求一些簡(jiǎn)單事件發(fā)生的可能性，并能對(duì)簡(jiǎn)單事件發(fā)生的可能性作出合理的統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)分析。但是，由于是首次將“概率”的教學(xué)內(nèi)容“下放”到了小學(xué)階段，不少一線教師“慌了手腳”，表現(xiàn)出諸多的不適應(yīng)，使得“概率”教學(xué)呈現(xiàn)出蒼白無(wú)力的尷尬困境。筆者在某市一次骨干教師評(píng)選中，觀摩了幾位參賽老師執(zhí)教的“可能性”與“游戲的公平性”，在聽(tīng)課過(guò)程中就曾多次與概率教學(xué)的尷尬相遇。

一、課堂遭遇了怎樣的尷尬?

1、學(xué)生參與試驗(yàn)次數(shù)太少。

[案例一]真的是“太意外了”嗎?

A老師教學(xué)四年級(jí)上冊(cè)的“游戲的公平性”，為了讓學(xué)生在游戲中充分體驗(yàn)公平性，他在課始設(shè)計(jì)了情境沖突，想以此引入本節(jié)課要學(xué)習(xí)的話(huà)題。

師：這里有一個(gè)布袋，里面有3個(gè)紅球和1個(gè)黃球。我們進(jìn)行游戲，一共摸20次球，這個(gè)游戲規(guī)則是如果摸到的紅球多，就算女生贏，如果摸到的黃球多，就算男生贏。

師：你認(rèn)為這樣的游戲好不好呢?

男生：(大聲地甚至有些情緒激昂)不公平，因?yàn)辄S球只有1個(gè)，紅球3個(gè)，黃球個(gè)數(shù)比紅球少。

師：(教師不顧男生的反對(duì)聲)這樣吧，我們先進(jìn)行一次比賽，請(qǐng)男、女生各派一名代表。

(全班推薦了男、女生代表各一名上來(lái)輪流從袋子里摸球。座位上的男生很氣憤。)

統(tǒng)計(jì)結(jié)果是紅球摸到了9次，黃球摸到了11次，男生贏了。

(男生因?yàn)橐馔獾刳A了，而歡呼雀躍。女生個(gè)個(gè)垂頭喪氣。)

(A老師本來(lái)想通過(guò)這次游戲突出這樣做是不公平的，結(jié)果男生組“意外地”贏了這場(chǎng)游戲，尷尬與無(wú)奈寫(xiě)滿(mǎn)了執(zhí)教老師的臉。因?yàn)椋谒嚱虝r(shí)沒(méi)有出現(xiàn)這種特殊情況，這種情況是他萬(wàn)萬(wàn)沒(méi)想到的。)

師：剛才的游戲太意外了，我們重新再做一次游戲。

[歸因分析]課后筆者與A老師交流，A老師感慨道：“怎么會(huì)這么巧呢?太意外了!”事實(shí)上，類(lèi)似這樣的“例外”，我們?cè)诮虒W(xué)中出現(xiàn)這種情況完全正常。某一事件發(fā)生的可能性大并不能遮蓋或替代另一小概率事件發(fā)生的偶然性。例如，拋一枚硬幣50次，結(jié)果有10次正面朝上的這種情況完全正常。因?yàn)楦怕适嵌种徊⒉荒鼙ＷC拋2n次硬幣一定有n次正面朝上，只有當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，正面朝上的頻率會(huì)越來(lái)越接近二分之一。因此，教師在課前應(yīng)該充分預(yù)設(shè)到有上述情況偶發(fā)的可能，讓幾組學(xué)生一起參與試驗(yàn)的過(guò)程，課堂上盡量避免因“太意外”而讓學(xué)生“重新做一次”的尷尬。可以說(shuō)，耍使獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)有效并有意義，學(xué)生參與試驗(yàn)的摸球次數(shù)以及參與實(shí)驗(yàn)的學(xué)生人數(shù)都是概率教學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)要考慮的因素。

2、實(shí)驗(yàn)活動(dòng)欠科學(xué)性。

[案例二]真的是“胸有成竹”了嗎?

同樣教學(xué)“游戲的公平性”，兩位老師在材料處理和活動(dòng)安排方面有明顯的不科學(xué)：

B老師在導(dǎo)入環(huán)節(jié)安排了游戲活動(dòng)，游戲規(guī)則是：有一個(gè)黑色不透明的袋子，里面裝有大小相同的黃球和白球。3名男生和3名女生分別在袋中各摸出一個(gè)球，摸后放回。摸到黃球多算男生贏，白球多算女生贏。學(xué)生們興高采烈地摸球，氣氛十分熱烈。結(jié)果白球多黃球少，女生贏了。男生紛紛表示不滿(mǎn)，嚷道：肯定袋里白球多黃球少。B老師胸有成竹、滿(mǎn)臉得意地打開(kāi)袋子讓學(xué)生看，果然白球5個(gè)黃球3個(gè)。

W老師為了讓學(xué)生能夠通過(guò)試驗(yàn)來(lái)體會(huì)等可能性，就組織學(xué)生做了拋花片游戲，給學(xué)生準(zhǔn)備的花片正面和反面除了圖案不同外，正面是凹凸不平的，而反面是光滑平整的。這樣由于正反面的質(zhì)量(輕重)不一樣，得到的機(jī)會(huì)也就不均等了。結(jié)果很多花片在桌面上打滾或跳躍后正面朝上的次數(shù)占了絕對(duì)優(yōu)勢(shì)。

[歸因分析]B老師的教學(xué)思維是“因?yàn)槊桨浊虻膫€(gè)數(shù)多于黃球，所以袋子里白球的個(gè)數(shù)多于黃球”。由此他安排的活動(dòng)程序是：實(shí)驗(yàn)摸球——收集統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)——作出決斷。這是有違概率理論知識(shí)的。概率事件發(fā)生的前提是“袋子里自球的個(gè)數(shù)多于黃球，所以摸到白球的可能性就大”。即使白球摸到的可能性大，也不能因此就能斷定摸到的白球比黃球多。事實(shí)上，摸到黃球的個(gè)數(shù)多于白球的可能性也是存在的。筆者在聽(tīng)課時(shí)，著實(shí)替B老師捏了一把汗——萬(wàn)一男生摸到的黃球多呢?B老師還會(huì)胸有成竹嗎?因此，作為教師應(yīng)該學(xué)一點(diǎn)概率學(xué)的知識(shí)，形成科學(xué)的統(tǒng)計(jì)方法和概率思想，科學(xué)合理地安排活動(dòng)程序：呈現(xiàn)各種球——作出合理的猜想和假設(shè)——試驗(yàn)摸球——收集數(shù)據(jù)——作出決斷。同時(shí)我們還要注意在進(jìn)行游戲公平性?xún)?nèi)容的教學(xué)時(shí)，為讓學(xué)生體會(huì)機(jī)會(huì)的均等即事件發(fā)生的等可能性，提供的材料還要有三點(diǎn)要求：一是實(shí)驗(yàn)材料要同質(zhì)、勻質(zhì)，例如“摸球”游戲用的彩球除了顏色有區(qū)別外，大小、形狀、輕重都應(yīng)該相同，即質(zhì)地相同、均勻。而W老師提供的花片材料，因正反面質(zhì)地的不同導(dǎo)致了試驗(yàn)結(jié)果的不真實(shí)性和不科學(xué)性。二是每次實(shí)驗(yàn)的條件要相同，以保證每次試驗(yàn)都是獨(dú)立的，試驗(yàn)是可以重復(fù)的。例如，“摸球”游戲時(shí)，為保證實(shí)驗(yàn)的科學(xué)性，每次摸球之前，教師都必須強(qiáng)調(diào)或提醒學(xué)生每次把球放回看不見(jiàn)的袋子里，要將球攪和搖勻以后再摸。三是保證每次實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)性。例如，在做“擲骰子”游戲時(shí)，擲出的骰子要滾出一定的距離，且每次的距離盡可能相同，并且落在同一個(gè)平面上。可見(jiàn)，為體現(xiàn)概率教學(xué)本身的科學(xué)性，教師除了要樹(shù)立正確的概率思想方法外，還要注重提供科學(xué)的材料，安排科學(xué)的活動(dòng)程序，指導(dǎo)學(xué)生掌握科學(xué)的試驗(yàn)方法。

3、解釋得蒼白無(wú)力。

[案例三1真的能被學(xué)生“駁倒”嗎?

Y老師為了向?qū)W生解釋“游戲的公平性”，組織了摸球的游戲f學(xué)生在裝有4個(gè)白球、4個(gè)黃球的袋里重復(fù)摸球30次)。10組學(xué)生匯報(bào)的白、黃球摸到的結(jié)果分別是：(15，15)、(14，16)、(17，13)、(18，12)、(15，15)、(16，14)、(11，19)、(12，18)、(17，13)、(15，15)(每組中前一個(gè)數(shù)是白球的次數(shù)，后一個(gè)是黃球的次數(shù))。反饋交流時(shí)，教師卻只將其中的三組(15，15)的數(shù)據(jù)板書(shū)在黑板上，并提問(wèn)學(xué)生：你們發(fā)現(xiàn)了什么?學(xué)生說(shuō)：摸到白球和黃球的次數(shù)相等。師：這就說(shuō)明這個(gè)游戲是公平的。Y老師對(duì)其他小組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果沒(méi)有理睬。

Y老師進(jìn)而為說(shuō)明事件發(fā)生的等可能性，出示了教材上的“你知道嗎”的閱讀材料(見(jiàn)上表)，想以此作為支撐。教師呈現(xiàn)統(tǒng)計(jì)表后讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)看了以后有什么想法?結(jié)果半數(shù)以上的孩子說(shuō)正反面次數(shù)相差太大，并振振有詞地說(shuō)：第二組正反面數(shù)據(jù)相差56，第三組相差42，第五組相差1242。懸殊越來(lái)越大。Y教師被學(xué)生的“反駁”辨得無(wú)話(huà)可說(shuō)。

[歸因分析]Y老師因?qū)叫匀鄙儇S富、全面、正確的認(rèn)識(shí)，故認(rèn)為游戲的公平性就應(yīng)該是可能性相等，也就是如果重復(fù)摸若干次，等概率事件實(shí)際發(fā)生的次數(shù)也應(yīng)該是相等的。因此，當(dāng)她面對(duì)(14，16)、(17，13)和(11，19)等數(shù)據(jù)時(shí)，干脆置之不理，用剩下的所謂“合理”的數(shù)據(jù)解釋?zhuān)@得底氣不足，以至于到最后被學(xué)生“反駁”得無(wú)話(huà)可說(shuō)，使得教學(xué)解釋蒼白無(wú)力。如果Y老師能在更開(kāi)放的背景下，即將全班的數(shù)據(jù)作一統(tǒng)計(jì)分析，會(huì)得出黃、白球摸到的可能性非常接近，進(jìn)一步滲透重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，黃、白球的可能性就會(huì)趨向相等。尤其是“你知道嗎”史料的介紹，教師更應(yīng)該將之轉(zhuǎn)化成正反面出現(xiàn)的頻率計(jì)算來(lái)解釋?zhuān)凑疵娉霈F(xiàn)的頻率與50％非常接近，只相差零點(diǎn)幾個(gè)百分點(diǎn)。如果教師能充分重視這一點(diǎn)，還可以使學(xué)生在追溯數(shù)學(xué)史料的同時(shí)感受數(shù)學(xué)家科學(xué)求真、精益求精的精神。但由于Y老師對(duì)數(shù)學(xué)史料掌握程度比較膚淺，導(dǎo)致自己的教學(xué)被“駁倒”。

4、實(shí)驗(yàn)結(jié)束后思維的缺席。

[案例四]真的是“合理猜測(cè)”嗎?

三年級(jí)H老師教學(xué)“可能性”時(shí)，教師將學(xué)生4人一組，每組有3個(gè)黃球和1個(gè)紅球，每次摸一個(gè)球，摸10次。請(qǐng)學(xué)生先猜測(cè)。

結(jié)果學(xué)生的猜測(cè)有六種：(8，2)、(5，5)、(6，4)、(7，3)、(9，1)、(10，0)。

實(shí)際8組學(xué)生的情況如下：(7，3)、(8，2)、(8，2)、(7，3)、(5，5)、(7，3)、(5，5)、(8，2)。

實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，老師問(wèn)：誰(shuí)的猜測(cè)是對(duì)的?班上有2組實(shí)際摸球的結(jié)果是(5，5)，在事實(shí)面前，H老師甘拜下風(fēng)，承認(rèn)(5，5)的估計(jì)也是很準(zhǔn)的。殊不知，估計(jì)和猜測(cè)也要有合理的根據(jù)，而這兩組學(xué)生的估計(jì)是一種偶然事件。H老師為了強(qiáng)調(diào)合理估計(jì)，就告訴學(xué)生，如果我們摸的次數(shù)再多一些，因?yàn)辄S球的個(gè)數(shù)比紅球多，摸到黃球的可能性肯定要比紅球大。并提示學(xué)生課后可以做這樣的實(shí)驗(yàn)。

[歸因分析]由于“猜測(cè)”這一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)一方面能充分調(diào)用學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性，另一方面能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)思維能力，因而受到一線數(shù)學(xué)教師的青睞。概率教學(xué)中猜測(cè)活動(dòng)的目標(biāo)就是要培養(yǎng)正確的概率直覺(jué)思維，其主旨是要讓學(xué)生消除錯(cuò)誤的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)合理的猜測(cè)，作出正確的判斷。上述案例中，H老師僅憑兩組學(xué)生的結(jié)果就說(shuō)他們的估計(jì)是很準(zhǔn)的，但事實(shí)上這種估計(jì)只是一種偶然發(fā)生的事件，整個(gè)課堂教學(xué)過(guò)程思維缺席了。其實(shí)為了能說(shuō)明可能性的具體內(nèi)涵，引發(fā)學(xué)生更深層次的思考，H老師可以組織學(xué)生結(jié)合小組實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)再進(jìn)行全班合計(jì)，如果時(shí)間允許，組織學(xué)生重復(fù)做實(shí)驗(yàn)的次數(shù)還可以再增多些。如果從全班的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來(lái)看，我們可以看到全班合計(jì)出黃球有55次，紅球有25次，這樣的數(shù)據(jù)已經(jīng)能說(shuō)明袋里黃球的個(gè)數(shù)多，摸到黃球的可能性也就大。在概率教學(xué)中，數(shù)學(xué)老師要幫助學(xué)生能充分運(yùn)用收集到的數(shù)據(jù)，從統(tǒng)計(jì)的角度整理、分析和判斷，并作出合理的決策，提升數(shù)學(xué)思考的能力。

二、采取怎樣的積極應(yīng)對(duì)策略?

1、賦予理性的數(shù)學(xué)思考。

學(xué)生的已有學(xué)習(xí)與生活經(jīng)驗(yàn)中確定性思維方式與概率教學(xué)中的不確定性思維方式存在差異。如果缺乏對(duì)不確定現(xiàn)象的豐富體驗(yàn)和深入思考，學(xué)生往往較難建立隨機(jī)觀念。實(shí)際教學(xué)時(shí)，一方面要注意培養(yǎng)正確的概率直覺(jué)。建立正確的概率直覺(jué)是概率教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo)，耍實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，必須讓學(xué)生親自經(jīng)歷對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的探索過(guò)程，即引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“猜測(cè)結(jié)果——進(jìn)行實(shí)驗(yàn)——收集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)——分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果——得出結(jié)論”。另一方面要注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作出合理的分析和判斷，啟迪學(xué)生深入思考數(shù)據(jù)背后說(shuō)明的本質(zhì)與內(nèi)涵。例如，在三年級(jí)教學(xué)“可能性”時(shí)有這樣幾組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：

其中，針對(duì)中年級(jí)學(xué)生做摸牌游戲(每組學(xué)生的袋子里有四色撲克牌各一張)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，教師可以啟迪學(xué)生思考以下幾個(gè)問(wèn)題：

(1)統(tǒng)計(jì)的結(jié)果和你估計(jì)的差不多嗎?你發(fā)現(xiàn)了什么?

(2)為什么實(shí)際上小組摸到每張牌次數(shù)相等的情況很少(只有2組)，會(huì)有一定偏差?

(3)根據(jù)全班統(tǒng)計(jì)的結(jié)果，如果再摸一次，你的估計(jì)是什么?

(4)如果繼續(xù)摸下去，摸到四色牌的次數(shù)會(huì)怎樣?

這樣的教學(xué)突出學(xué)生的自主探索和合作交流，學(xué)生能自主選擇運(yùn)用實(shí)驗(yàn)、模擬、推理等方法體驗(yàn)事件發(fā)生的可能性大小，強(qiáng)調(diào)了產(chǎn)生和發(fā)展概率思想的全過(guò)程，使學(xué)生真正體會(huì)了概率的基本思想。

2、揭示概率的科學(xué)本真。

隨機(jī)現(xiàn)象表面看似乎無(wú)規(guī)律可循，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果事先無(wú)法預(yù)料，但當(dāng)我們大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，實(shí)驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都會(huì)呈現(xiàn)出其頻率的穩(wěn)定性。即某次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的不確定性和大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的規(guī)律性是相對(duì)辯證的。實(shí)際教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與對(duì)事件發(fā)生概率的感受和探索，通過(guò)現(xiàn)實(shí)世界中熟悉和感興趣的問(wèn)題，豐富對(duì)概率背景的認(rèn)識(shí)，積累大量的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，例如，可以引導(dǎo)學(xué)生討論“中獎(jiǎng)率是1％，你買(mǎi)100張獎(jiǎng)券一定會(huì)中獎(jiǎng)嗎”，使學(xué)生具有一些基本的概率統(tǒng)計(jì)觀念，學(xué)會(huì)從隨機(jī)的角度來(lái)觀察世界，具有處理和分析信息的初步能力，在面對(duì)不確定情景或大量數(shù)據(jù)時(shí)能作出更合理的決策。

3、凸顯概率的實(shí)際應(yīng)用。

概率思想作為基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程的主線之一，在小學(xué)階段應(yīng)突出概率思想的實(shí)際意義和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念。概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)著重于對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的探索，挖掘適合學(xué)生學(xué)習(xí)的材料，通過(guò)選擇非常豐富的實(shí)際背景，呈現(xiàn)現(xiàn)實(shí)情景中的數(shù)據(jù)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解概念的實(shí)際意義，凸顯其在現(xiàn)實(shí)世界中的應(yīng)用價(jià)值。如，當(dāng)你打開(kāi)電視機(jī)時(shí)，碰到廣告的可能性是多少?要估算這個(gè)概率，學(xué)生可以收集在一小時(shí)內(nèi)播放廣告的分鐘數(shù)。再如，一商場(chǎng)要搞一場(chǎng)摸獎(jiǎng)游戲，如果中獎(jiǎng)的概率是20％，可以怎樣設(shè)計(jì)摸獎(jiǎng)用的轉(zhuǎn)盤(pán)?教學(xué)時(shí)還可以通過(guò)安排實(shí)踐活動(dòng)、社會(huì)調(diào)查、查閱資料等使學(xué)生體會(huì)概率在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用。