淺談三角數數列

關鍵詞：三角數；數列；解析

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B

文章編號：1009-010X（2008）01-0063-01

數學上，把從1開始的自然數數列1，2，3，4……n，……前n項和組成的數列叫做三角數數列。即1，3，6，10，…

n（n+1），…了解探究該數列，要掌握以下知識點：

1.觀察該數列可知，a1=1，a2=1+2，a3=1+2+3，…，an=1+2+3+…+n，故其通項公式為：an=n（n+1）

2.其相鄰兩項之和為：an+an-1=n（n+1）+n（n-1）=n2

3.其相鄰兩項之差為：an-an-1=n（n+1）-n（n-1）=n

4.其相鄰兩項的平方差為：an2-an-12=n2#8226;n=n3也就是說，三角數數列某一項與它前面一項的平方差等于項數的立方。

5.由an=n（n+1）=（n2+n）可推出三角數數列前n項和公式：

sn= ［（12+1）+（22+2）+（32+3）+…+（n2+n）］=［（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）］=［+］=

下面，筆者結合上述三角數數列的知識點，淺談其在解題中的應用。

例1 古希臘數學家把1，3，6，10，15，21，…叫作三角形數，它有一定的規律性，則第25個三角形數與第23個三角形數的差為 （2004年嵊州市初中教師測試題）

解法1：由知識點1可知an=n（n+1）故a25-a23=×25×（25+1）-×23×（23+1）=49，故答案為49。

解法2：由知識點3可知an-an-1=n故a24-a23=24，a25-a24=25以上兩式相加得：a25-a23=49，故答案為49。

例2用火柴棍擺出的一系列三角形圖案（如圖），按這種方式擺下去，當每邊上擺20（即n=20）根時，需要的火柴根總數為根。（2003年河北省中考試題）

……

n=1 n=2 n=3

解：觀察三角形圖案可知，形成的三角形數依次為：1，3，6，……即為三角數數列，由知識點1可知，an=n（n+1），當每邊上擺20根時，其三角形個數為a20=×20×（20+1）=210，因此，火柴根總數為210×3=630，故答案為630。

例3 在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第2，3，4……堆最底層（第一層）分別按圖所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上。第n堆第n層就放一個乒乓球，以f（n）表示第n堆的乒乓球總數，則f（3）=； f（n）=（答案用n表示）。（2006年廣東省高考試題）

解：從第一堆到第n堆最底層（第一層）球數依次為1，3，6，10，……即為三角數數列。因為f（n）表示第n堆的乒乓球總數，所以f（n）就等于三角數數列前n項之和，由知識點5可知f（n）= f（3）==10

例4 求證：13+23+33+43+…+n3=［n（n+1）］2

證明：把三角數數列前n項平方和作差得：

{12+32+62+102+…+［n（n+1）］2}-{12+32+62+102+…+［n（n+1）］2}=0

即12+（32-12）+（62-32）+（102-62）+…+［n（n+1）］2-［n（n-1）］2-［n（n+1）］2=0

由三角數數列知識點4：an2-an-12=n3得：13+23+33+43+…+n3=［n（n+1）］2

可見，掌握三角數數列的有關知識及其規律，對解析某些數列題目能起到較好的效果。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。