中學數學教學中的化歸思想

一、化歸思想

化歸思想是數學中常用的一種重要數學思想，其本質就是矛盾的轉化，曾被笛卡兒譽為“萬能方法”。笛卡爾在《指導思維的法則》一書中指出：第一，將任何種類的問題轉化為數學問題；第二，將任何種類的數學問題轉化為代數問題；第三，將任何代數問題轉化為方程式的求解。本文將結合中學數學教學來談談化歸思想。

1.化歸的含義

化歸即轉化和歸結的意思，就是在處理問題時，把待解決的問題或難解決的問題，通過某種轉化，歸結為一類已經解決或比較容易解決的問題，最終求得原問題的解答的一種數學思維方式。

2.化歸的意義

化歸在數學中是一個非常基本的思想方法，有著十分廣泛的應用。不僅許多重要數學方法都屬于“化歸”的范疇，而且許多重要的數學思想和研究策略也可用化歸的思想來概括。化歸思想是解決問題總的策略，在數學教學中滲透化歸思想，可使許多疑難問題迎刃而解，有利于提高教學效率和教學質量。

3.化歸的策略

我們常常有這種感受，知道要化歸，也想要化歸，但卻無法實現化歸。所以，實現化歸，我們還要掌握一定的化歸策略。

(1)一般與特殊的轉化。從一般與特殊的關系出發，有兩種化歸途徑：一是將一般問題特殊化，通過對特殊形式的研究尋求解決原問題的方法，即一般?邛特殊?邛一般；二是把所給問題作為特殊形式，將特殊問題一般化，通過解決一般問題來求得所給特殊問題的解決，即特殊?邛一般?邛特殊。

(2)具體與抽象的轉化。解題時，對某些抽象的問題，可采用具體化的方法，如作圖或賦予問題以實際意義，從而在某種具體意義的指導下討論問題，尋求解答。也可將某一問題的具體內容暫時舍棄，僅就它們的關系和結構形成一個純粹數學的問題去進行討論，從而得到原問題的解答。

(3)已知與未知的轉化。已知與未知的轉化，常常能轉換問題的條件，避實就虛，使問題得到巧妙解決。

(4)數與形的轉化。幾何圖形中往往蘊涵著一定的數量關系，而數又常常可以通過兒何圖形作出直觀的描述和反映。解題時可把數和形結合起來考察，通過相互轉化，達到化繁為簡、化難為易的目的。

(5)主次轉化。利用主元與參變量關系，視參變量為主元，常常可以把問題簡化而使之得到解決。

(6)化高為低。在解數學題時，常常通過將高次轉化為低次，多元轉化為單元，高維空間轉化為低維空間，即通過降次、降元、降維達到化歸的目的。

(7)化正為反。即將正面問題轉化為與之相反的問題求解，常用的有反證法、反例法。

(8)化無限為有限。無限與有限雖然有著本質的差異，但也有著密切的聯系，解決問題時常常把無限的問題轉化為有限的情形來討論。

二、用化歸思想處理教師的教與學生的學

數學教師導入新課時應用化歸思想方法將新的知識化為更簡單、更熟悉、更具體、更形象的知識或圖形，這樣更適合中學生認知規律。下面的例子選自中學教材。

高中研究函數單調性時先從初中已經學過的一次函數、反比例函數、二次函數的函數值y隨自變量x的變化情況著手，引出數學符號語言描述的單調性定義。從圖像看，二次函數y=x²圖像在第二象限內呈下降趨勢，在第一象限內呈上升趨勢。即二次函數f(x)=x²+x＞0時y隨著x增大而增大，在x＜0時y隨著x增大而減小。

比較大小：f（1）＜f（2），f（4）＜f（7），f（-5）＞f（-3）。

因為二次函數f（x）=x²在x＞0時y隨著x增大而增大，由1＜2，則f（1）＜f（2），由4＜7，則f（4）＜f（7）。

因此函數f（x）=x²在區間（0，+∞）內，若有任意的兩數x₁＜x₁，則f（x₁）＜f（x₂）；

類似函數f（x）=x²在區間（-∞，0）內，若有任意的兩數x₁＜x₂，則f（x₁）＞f（x₂）。

如果我們稱函數f（x）=x²在區間（0，+∞）內是增函數，在區間（-∞，0）內是減函數，從而推廣到一般情形。

以上研究問題時將一般性、不熟悉性、抽象性轉化為具體化、熟悉化、形象化，讓學生從具體的、熟悉的、形象的知識結構去研究新問題。

化歸思想是解決問題總的策略，不只是局限于數學問題，作為教師都應認識化歸思想的意義，尤其是數學教師一定要認真理解化歸思想的內涵，大力做好教學的滲透，提高學生分析問題、解決問題的能力，促進學生人格健康良性發展。◆（作者單位：淮南職業教育中心）

□責任編輯：周瑜芽