探索法在數學趣題中的應用

劉輝忠

數學趣題不僅能有效地激發學生學習數學的興趣，而且能有效地培養學生的分析問題和解決問題的能力。不過數學趣題的條件往往撲朔迷離，初看起來無從著手，但只要與適當的數學知識掛鉤，深入探討，即可得到可喜的收獲，令人興趣大增。現介紹用探索法解趣題一例，供大家參考。

題目：有一次我下鄉家訪一位學生，我知道他的爸爸是一位養豬能手。我問他你們家除了養豬，還養些什么?這位學生回答說還養奶牛和雞。當我問他各養多少時，他說：“我家養的豬、奶牛和雞，腿的總數乘上牛角的數目，再乘上雞翅膀的數目正好得720。如果我只告訴您牛的數目，您推斷不出豬和雞的數目；如果我只告訴您雞的數目，您也推斷不出豬和牛的數目，但如果我告訴您豬的數目，您完全可以推斷出牛和雞的數目。其實，談到這里，即使我不告訴您豬的數目，您也可以推斷出豬、牛和雞的數目啦。”請問這位養豬能手養了多少豬、牛和雞?

本題的條件象謎語一樣，令人難以捉摸。下面用探索法一步步把這個迷解開：

先根據“我家養的豬、奶牛和雞，腿的總數乘上牛角的數目，再乘上雞翅膀的數目正好得720。”這一條件，設豬x頭，奶牛y頭，雞z只，則有

(4x+4y+2z)·2y·2z=720，

就是(2x+2y+z)·yz=90。

①

由①式可看出，如果z為偶數，則左邊能被4整除，而右邊不能被4整除，所以z只能為奇數；所以(2x+2y+z)為奇數，yz只能為偶數，y必為偶數。因為z、y、z為自然數，所以2x+2y+z＞y，所以(2x+2y+z)y＞y²，所以y為小于10的偶數。

90=1×2×3×3×5。

有y=2或y=6。

當y=2時，z可能為1，或3，或5，把y=2代入①式得(2x+2×2+z)·2z=90

當y=2，z=1時，解得x=20；

當y=2，z=3時，解得x=4；

當y=2，z≥5時，無解。

當y=6時，z可能為1，或3，

把y=6代入(1)式得(2x+2×6+z)·6z=90。

當y=6，z=1時，解得z=1；

當y=6，z≥3時，無解。

通過上述探索，我們得到3組解，第一組是：豬20頭，奶牛2頭，雞1只；第二組是：豬4頭，奶牛2頭，雞3只；第三組是：豬1頭，奶牛6頭，雞1只。現再根據“如果我只告訴您牛的數目，您推斷不出豬和雞的數目”這個條件進行判斷，從這三組中可看出，他家養奶牛的數目應為2頭，因為即使知道奶牛的數目為2頭，豬和雞的數目仍無法確定，又根據“如果我只告訴您雞的數目，您也推斷不出豬和牛的數目”這個條件進行判斷，可知他家養雞1只，因為即使知道雞的數目為1只，也推斷不出豬和牛的數目。故初步得出他家養奶牛2頭，雞1只，豬20頭，即應選第一組，再根據“但如果我告訴您豬的數目，您完全可以推斷出牛和雞的數目”這個條件進行判斷，可以看出三組數據中豬的頭數是互不相同的，只要知道豬的頭數完全可以唯一確定奶牛和雞的數目了。至此，已經真相大白：這位養豬能手分別養豬20頭、奶牛2頭、雞1只。

我們還可以從另一角度進行探索，得出①式后，我們可以推知yz為偶數，因為如果yz為奇數，則y和z同為奇數，這時(2x+2y+z)為奇數，則等號左邊為奇數而右邊為偶數是不可能的。又因為z、y、z為自然數，故(2x+2y+z)≥5，又因90=1×2×3×3×5，所以yz最多只有1×2、1×2×3、1×2×5、1×2×3X3四種可能，由①式可看出，如果z為偶數，則左邊能被4整除，而右邊不能被4整除，所以z只能為奇數；所以(2x+2y+z)為奇數，yz只能為偶數，y必為偶數。便可得y=2，z=1或y=2，x=3或y=6，z=

1同樣得到三組解：

豬=1頭，奶牛=6頭，雞=1只；

豬=4頭，奶牛=2頭，雞=3只；

豬=20頭，奶牛=2頭，雞=1只。

如果是第一組，那么知道牛的數目就可以知道豬和雞的數目，這與“如果我只告訴您牛的數目，您推斷不出豬和雞的數目”相矛盾；如果是第二組，那么知道雞的數目就可以知道豬和牛的數目；這又與“如果我只告訴您雞的數目，您也推斷不出豬和牛的數目”相矛盾；所以只能是豬20頭，奶牛2頭，雞1只。